Общая постановка задачи. Линейная модель

В практике финансово-экономического анализа довольно часто возникает необходимость определить барьерное (порого­вое, критическое, предельно допустимое) значение некоторо­го параметра. Под барьерным значением параметра понимает­ся такая его величина, превышение которой приводит к поло­жительному или, наоборот, отрицательному конечному эконо­мическому результату в рамках некоторой производственной или финансовой системы. Например, если речь идет об опре­делении объема производства какого-то продукта, то порого­вым его значением является такой объем выпуска, при кото­ром полученная прибыль равна нулю. Превышение этого объ­ема дает прибыль, производство в меньшем объеме оказывает­ся убыточным. Подобная и многие другие, сходные по общей постановке, задачи решаются с помощью метода барьерной или критической точки (break-even point). Метод барьерной точки широко используется в финансовом проектировании, при раз­работке бизнес-планов и при решении разнообразных проб­лем: при определении порогового значения процентной став­ки, цены товара, срока выполнения финансовой операции и т.д.

Наиболее простая постановка задачи осуществляется с помо­щью линейной модели, которая и рассматривается в данном па­раграфе. Разумеется, такая постановка не является единственно возможной. Некоторые пути для дальнейшего развития метода предлагаются в следующих парафафах главы. Причем часть из рассмотренных здесь проблем, например барьерные точки для налоговых ставок и барьерные точки в условиях неопределен­ности, до сих пор не обсуждались в финансовой литературе.

Заметим, что до недавнего времени метод барьерной точки применялся, так сказать, в статике. Экономические показатели рассматривались в рамках одного, сравнительно короткого пе­риода. В последнее время этот метод распространяется и на по­токи платежей, охватывающих ряд последовательных времен­ных интервалов. В этих случаях с помощью дисконтирования стал учитываться важнейший фактор — время (а именно, сро­ки инвестирования и сроки отдачи от инвестиций).

Для начала рассмотрим наиболее простой и весьма условный вариант статической постановки задачи, к которому обычно прибегают при объяснении сути метода. Пусть необходимо най­ти пороговый объем производства одного вида продукта при ус­ловии, что все необходимые для анализа количественные зави­симости описываются линейными выражениями, иначе говоря, применяется линейная модель.

Для записи такой модели примем обозначения:

Q — объем производства (в натуральном или условно-нату­ральном измерении);

F — постоянные производственные затраты, затраты, не за­висящие от объема выпуска;

с — переменные, или пропорциональные затраты (в расчете на единицу продукции);

р — цена единицы продукции;

S — общая сумма затрат;

V — стоимость выпущенной продукции;

Р — размер прибыли до уплаты налогов.

Переменные Q, F, S, V, Р определяются в расчете на одина­ковый интервал времени, обычно на один год.

Для начала найдем стоимость выпущенной продукции и со­ответствующую сумму затрат:

V=_PQ, (7.1)

S=F+cQ. (7.2)

Искомый критический объем производства или барьерную точку получим на основе равенства стоимости выпущенной продукции и суммы затрат: V- S. Именно равенство двух раз­нородных экономических показателей, каждый из которых яв­ляется функцией одной управляющей переменной (в рассматри-