Непрерывные переменные потоки платежей

В предыдущей главе были обсуждены непрерывные постоян­ные потоки платежей. Там предполагалось, что годовая сумма R непрерывно и равномерно распределена в пределах года. Такой поток денежных поступлений или выплат не является единствен­но возможным. На практике, особенно при анализе производст-

¹ Доказательство см. в Математическом приложении к главе.

венных инвестиций, поток платежей может существенно изме­няться во времени, в том числе следуя какому-либо закону.

Если поток платежей непрерывен и описывается некоторой функцией Л, =/(')> то общая сумма поступлений за время п рав­на ff[t]dt. В этом случае наращенная сумма (при начислении

о процентов используется процентная ставка в виде силы роста 6) находится как

5-//(/)е"Мл.

О

Современная стоимость такого потока определяется как

Л-//(')^е"^5х'^Л-о

Для того чтобы рассчитать величины А и 5, необходимо оп­ределить конкретный вид функции изменения платежей и зна­чения ее параметров. Ниже рассматриваются методы расчета современных стоимостей для двух видов функций — линейной и экспоненциальной. Наращенные суммы таких потоков легко определить, исходя из соотношения

S = А&™. (6.27)

Линейно изменяющийся непрерывный поток платежей. Функ­ция потока:

R_t= Rq + at, (6.28)

где /^ — начальный размер платежа, выплачиваемого в едини­цу времени, в котором измеряется срок ренты.

Современная стоимость получена с помощью интегрирова­ния функции потока платежей:

A «jf(/io +at)e-^bytdt «В^е'^шЛ + ajte'^bxt -

О 0 0

(6.29)

Я0 + -)ак6--пе-ЬхП

Rodъъ + - (а „_;5 - пе~^Ьхп)а 5

где а_п.₆ — коэффициент приведения постоянной непрерывной ренты.

В последней записи наглядно представлено влияние началь­ного размера платежа и приростов.

ПРИМЕР 6.9. Намечается в течение трех лет увеличивать выпуск продукции на 1 млн руб. ежегодно. Базовый уровень выпуска — 10 млн руб. Необходимо определить суммарный объем выпуска с начисленными процентами. Сила роста 8%. Определим коэффициент приведения

•J _ в-0,08 х 3 0,08

*3;8 =------ ^^-------- = 2.66715.