Основные расчетные формулы. Годовая рента постнумерандо:

Годовая рента постнумерандо:

Итог:

. (4.1)

Величина члена ренты (платежа)

, (4.3)

Срок ренты

. (4.4)

Процентная ставка (приближенная формула):

. (4.5)

Современная стоимость ренты:

, (4.6)

Современная стоимость вечной ренты:

, (4.11)

Коэффициент наращения ренты:

(4.13)

Коэффициент дисконтирования ренты:

(4.15)

Годовая рента пренумерандо:

Итог:

. (4.2)

Современная стоимость:

. (4.7)

Современная стоимость вечной ренты:

. (4.12)

Коэффициент наращения ренты

, (4.14)

Коэффициент дисконтирования ренты:

. (4.16)

m – срочные ренты:

Формулы для итога и современной стоимости:

Для ренты постнумерандо:

и . (4.17)

Для ренты пренумерандо:

и . (4.18)

Здесь R является уже не величиной каждого платежа, а суммой всех платежей за год.

Пример 4.1. Предполагается сформировать фонд в размере 10000 д.е., делая ежегодные взносы (в конце каждого года) в течение 5 лет при сложной ставке 10% годовых. Какова должна быть величина каждого взноса?

Решение. Воспользовавшись формулой (4.3) для величины члена ренты постнумерандо, получим

д.е.

Ответ. Величина каждого взноса 1638 д.е.

Пример 4.2. На сколько д.е. итог годовой ренты пренумерандо сроком 3 года отличается от суммы всех платежей? (Величина каждого платежа 300 д.е., процентная ставка 15% годовых).

Решение. Для нахождения итога ренты используем формулу (4.2):

д.е.

Сумма всех платежей nR = 3·300= 900 д.е. Разность между этими величинами составляет 1198 – 900 = 298 д.е.

Ответ. На 298 д.е.

Пример 4.3. При какой величине ставки приведения итог годовой ренты постнумерандо сроком 4 года составит 900 д.е. при ежегодных платежах по 200 д.е.?

Решение. Расчет процентной ставки проведем по приближенной формуле:

= .

Ответ. Величина процентной ставки 8,3%.

Численный расчет на компьютере дает для этого случая (с точностью до 0,01%) достаточно близкое значение .

Пример 4.4. Найти современную стоимость годовой ренты пренумерандо с платежами по 300 д.е., если срок ренты 5 лет, а ставка приведения 14% годовых.

Решение. Для расчета используем формулу (4.7):

д.е.

Ответ. 1174 д.е.

Пример 4.5. Какую сумму необходимо внести в банк на условиях процентной ставки 12% годовых, чтобы в дальнейшем в конце каждого года вечно получать по 1000 д.е.?

Решение. Внесенная сумма является современной стоимостью вечной ренты постнумерандо. По формуле (4.11) находим д.е.

Ответ. Необходимо внести 8333 д.е.

Пример 4.6. В банк внесена сумма 5000 д.е. Сколько лет можно за счет этой суммы получать в конце каждого года по 800 д.е., если процентная ставка банка 8,5% годовых?

Решение. Внесенная сумма является современной стоимостью будущей ренты постнумерандо. Необходимо найти ее срок, для чего используем формулу (4.9):

лет.

Таким образом, число целых лет равно 9.

Ответ. 9 лет.

Пример 4.7. Коэффициент наращения некоторой годовой ренты постнумерандо равен 3,45, а ее коэффициент дисконтирования равен 2,3. Какова процентная ставка?

Решение. Рассматривая совместно формулы (4.13) и (4.15):

можно получить соотношение между коэффициентами наращения и дисконтирования, не содержащее срока ренты (для этого необходимо выразить из одной формулы величину и подставить его в другую формулу).

В итоге после преобразований получим соотношение

, откуда находим .

Ответ. Процентная ставка 14,49%.

Одним из наиболее важных применений формул ренты являются расчеты по кредитам, особенно долгосрочным. Распространенной формой таких расчетов является погашение кредита равными периодическими платежами, т.е. рентой. В этом случае величина полученного заемщиком кредита представляет собой современную стоимость этой ренты.

Пример 4.8. Выдан кредит в сумме 6000 д.е. на условиях 20% годовых, который должен быть погашен в течение 2,5 лет равными платежами в конце каждого квартала. Найти величину каждого платежа.

Решение. Выданная сумма кредита представляет собой современную стоимость ренты постнумерандо с ежеквартальными платежами. Для расчета величины каждого платежа можно воспользоваться формулой (4.8), в которой заменить , , , или непосредственно выразить сумму годовых платежей из соответствующей формулы (4.17): д.е., откуда величина каждого платежа составит д.е.

Ответ. Величина каждого платежа 777 д.е.

Пример 4.9. Заемщик получил кредит в банке по ставке 18% годовых на 2 года на условиях ежемесячного погашения. Всего за весь срок заемщик выплатил банку в счет погашения кредита 15000 д.е. Какова была сумма полученного им кредита?

Решение. По умолчанию считаем, что платежи происходят в конце каждого месяца (т.е. поток погасительных платежей является рентой постнумерандо). Сумма платежей за год составила д.е. Далее по одной из формул (4.17) находим современную стоимость соответствующей ренты, состоящей из 24 платежей по д.е. – это и будет сумма полученного заемщиком кредита:

д.е.

Ответ. Сумма полученного кредита 12519 д.е.

Пример 4.10. Каков должен быть срок ренты постнумерандо, чтобы при ежемесячных платежах по 250 д.е. (при ставке 14% годовых) итог ренты составил 7000 д.е.?

Решение. Вначале находим сумму платежей за год: д.е. Затем из соответствующей формулы (4.17) для итога m – срочной ренты постнумерандо после логарифмирования находим величину срока ренты:

года = 2 года 1 мес.

Ответ. Срок ренты 2 года 1 мес.

Рассмотрим распространенную схему так называемого потребительского кредита, выдаваемого физическим лицам. При этом на выданную сумму кредита S(0) при его получении начисляются простые проценты по ставке i_пот, а разовый погасительный платеж r рассчитывается по формуле

, (4.19)

где n – срок кредита, m – число платежей в год.

Фактически поток этих платежей образует ренту с современной стоимостью S(0). Найдем связь между соответствующей ставкой ренты i (реальной доходностью кредита) и ставкой потребительского кредита i_пот. Воспользовавшись формулой (4.19) и формулой современной стоимости m – срочной ренты (4.17), получим после преобразований следующее соотношение

. (4.20)

Решить это уравнение относительно i можно численными методами. Однако, пользуясь разложением правой части уравнения в степенной ряд, можно получить следующую простую приближенную оценку (справедливую при и достаточно больших значениях m):

. (4.21)

Она показывает, что реальная доходность потребительского кредита почти в 2 раза больше объявленной процентной ставки i_пот. Можно сказать поэтому, что потребительский кредит почти в 2 раза дороже «настоящего». Причина в том, что по мере выплаты погасительных платежей фактический долг заемщика кредитору все время уменьшается, а этот фактор не учитывается в схеме потребительского кредита.

Пример 4.12. Потребительский кредит в сумме 6000 д.е. выдан на год на условиях ежемесячного погашения платежами по 575 д.е. Найти реальную доходность кредита.

Решение. Сначала находим с помощью формулы (4.19) процентную ставку потребительского кредита

. Далее используем формулу (4.21) для приближенной оценки реальной доходности

.

Ответ. Реальная доходность 26% годовых.

Численный компьютерный расчет дает (с точностью до 0,01%) i_пот = 26,61%, т.е. достаточно близкое значение.

Заметим, что обратная задача (нахождение i_пот по известному значению i) с помощью формулы (4.20) может быть решена точно:

.

Эта формула может служить для проверки результата, полученного с помощью приведенной выше приближенной оценки.

5. АНАЛИЗ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ