![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Основными понятиями теории вероятности являются понятия события и вероятности событий.
Под событием понимают такой результат эксперимента или наблюдения, который при реализации комплекса условий может произойти или не произойти.
События можно подразделить на три вида:
1) достоверное - если оно при осуществлении комплекса условий обязательно
произойдёт;
2) невозможное - если оно при испытании не может произойти;
3) случайное - если при испытании оно может произойти, а может и не произойти.
· К л а с с и ч е с к о е о п р е д е л е н и е в е р о я т н о с т и.
Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих исходов к числу n всех возможных элементарных исходов в данном испытании.
вероятность любого события А удовлетворяет неравенствам
Изучите понятия относительной частоты и статистической вероятности (см. §6,7 гл.I [1]).
· Т е о р е м ы с л о ж е н и я и у м н о ж е н и я в е р о я т н о с т е й.
События называются совместными, если появление одного из них не исключает возможности появления других.
Например: 3 орудия стреляют в цель и возможность попадания в цель всех 3-х орудий не исключается, следовательно они совместны.
События называются несовместимыми (несовместными), если появление одного из них исключает возможность появления других.
Например: при бросании монеты выпадение «орла» исключает возможность появления "решки".
Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.
Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.
Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.
Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.
Теорема сложения вероятностей:
Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:
Р (А+В)= Р (А)+ Р (В)
(доказательство см. §1 гл.II [1]).
В случае, когда события А и В совместны, вероятность их суммы выражается формулой:
Р (А+В)= Р (А)+ Р (В)- Р (АВ), где АВ - произведение событий А и В.
Теорема сложения вероятностей для нескольких событий:
Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей:
В случае, когда события совместны, вероятность их суммы выражается формулой
,
где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индексов i, j, k,...., взятых по одному, по два, по три и т.д.
Пример 1. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.
Решение. Обозначим события:
– появление хотя бы одного туза,
А – появление одного туза,
А – появление двух тузов,
А – появление трех тузов.
Событие произойдет, если наступит одно из несовместимых событий А
, А
или А
.
Очевидно, что В = А + А
+ А
,
Р (В) = Р (А ) + Р (А
) + Р (А
),
т.е. Р (В) = .
Можно решить иначе. Событие , противоположное событию
, состоит в том, что среди вынутых из колоды карт нет ни одного туза:
(
) +
(
) = 1,
(
) = 1 -
(
) =
.
Пример 2. В урне находятся 5 белых и 4 черных шара. Из урны вынимают наугад 3 шара.
Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?
Решение. Обозначим события:
А – появление трех шаров одного цвета,
А – появление трех шаров белого цвета,
А – появление трех шаров черного цвета.
Событие А наступит, если произойдет какое-нибудь из двух несовместных событий А или А
:
А = А + А
,
Р (А) = Р (А ) + Р (А
) =
Замечание. Если событие А и В совместны, то
Р(А + В) Р(А) + Р(В).
![]() |
Событие называется противоположным событию
, если оно состоит в непоявлении события
.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
Р () + Р (
) = 1.
Условной вероятностью события А при наличии В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р .
События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий
Р = Р (
); Р
= Р (В).
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 428 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!