Глава 2 элементы теории вероятностей. Случайные события

Вероятностью события А называют отношение числа m благоприятствующих исходов к числу n всех возможных элементарных исходов в данном испытании.

вероятность любого события А удовлетворяет неравенствам

Изучите понятия относительной частоты и статистической вероятности (см. §6,7 гл.I [1]).

· Т е о р е м ы с л о ж е н и я и у м н о ж е н и я в е р о я т н о с т е й.

События называются совместными, если появление одного из них не исключает возможности появления других.

Например: 3 орудия стреляют в цель и возможность попадания в цель всех 3-х орудий не исключается, следовательно они совместны.

События называются несовместимыми (несовместными), если появление одного из них исключает возможность появления других.

Например: при бросании монеты выпадение «орла» исключает возможность появления "решки".

Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А или В.

Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Произведением двух событий А и В называется событие С, состоящее в совместном появлении события А и события В.

Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий.

Теорема сложения вероятностей:

Вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Р (А+В)= Р (А)+ Р (В)

(доказательство см. §1 гл.II [1]).

В случае, когда события А и В совместны, вероятность их суммы выражается формулой:

Р (А+В)= Р (А)+ Р (В)- Р (АВ), где АВ - произведение событий А и В.

Теорема сложения вероятностей для нескольких событий:

Вероятность суммы нескольких несовместных событий равна сумме их вероятностей:

В случае, когда события совместны, вероятность их суммы выражается формулой

,

где суммы распространяются на все возможные комбинации различных индексов i, j, k,...., взятых по одному, по два, по три и т.д.

Пример 1. Из колоды в 36 карт наугад вынимают 3 карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.

Решение. Обозначим события:

– появление хотя бы одного туза,

А – появление одного туза,

А – появление двух тузов,

А – появление трех тузов.

Событие произойдет, если наступит одно из несовместимых событий А , А или А .

Очевидно, что В = А + А + А ,

Р (В) = Р (А ) + Р (А ) + Р (А ),

т.е. Р (В) = .

Можно решить иначе. Событие , противоположное событию , состоит в том, что среди вынутых из колоды карт нет ни одного туза:

() + () = 1,

() = 1 - () = .

Пример 2. В урне находятся 5 белых и 4 черных шара. Из урны вынимают наугад 3 шара.

Какова вероятность того, что они окажутся одного цвета?

Решение. Обозначим события:

А – появление трех шаров одного цвета,

А – появление трех шаров белого цвета,

А – появление трех шаров черного цвета.

Событие А наступит, если произойдет какое-нибудь из двух несовместных событий А или А :

А = А + А ,

Р (А) = Р (А ) + Р (А ) =

Замечание. Если событие А и В совместны, то

Р(А + В) Р(А) + Р(В).

Если события несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице:

Событие называется противоположным событию , если оно состоит в непоявлении события .

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:

Р () + Р () = 1.

Условной вероятностью события А при наличии В называется вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В произошло. Эта вероятность обозначается Р .

События А и В называются независимыми, если появление одного из них не меняет вероятности появления другого. Для независимых событий

Р = Р (); Р = Р (В).