Основные виды теорем

Теорема рассматривается как предложение, истинность которого должна быть обоснована строгим логическим доказательством. Доказательство – это демонстрация истинности утверждения путём применения аксиом, доказанных уже ранее теорем и следствий из них, вспомогательных предложений (лемм), а также логических законов. Такой подход позволяет строить обоснованную последовательность рассуждений (с возможным использованием формул, таблиц, графиков и т.п.), приводящих от условий теоремы к выводу о справедливости её утверждения. Сами условия теоремы – это совокупность исходных тезисов или посылок, которые характеризуют содержание теоремы, возможности её выполнения и предполагаемые действия при доказательстве. Формулировка теоремы – это утверждаемый тезис, требующий доказательства, а вывод рассматривается как последовательность формул и рассуждений, приводящих к самому доказательству.

Исходные тезисы или посылки сами являются высказываниями из данного универсума W. Обозначим эти посылки Формула посылки имеет вид Эта формула имеет область истинности и область ложности, которые мы обозначим соответственно () и Очевидно, что

() + = W. (21.1)

Формулировка теоремы является данной логической функцией T от нескольких утверждений (высказываний) , которые сами связаны известными логическими функциями с исходными тезисами:

Следовательно, утверждение теоремы также содержит указанные высказывания, но под знаком сложной логической формулы . Для неё области истинности и ложности обозначим аналогично предыдущему: () и

Теперь перейдём к видам теорем, которые обычно применяются в математической логике. Первый вид – это прямая теорема: «Из посылки следует утверждение ». При этом требование доказательности имеет простой вид:

() (). (21.2)

Это условие проще всего проверять табличным методом: с помощью матриц Карно соответствующего вида. Прямая теорема может быть записана в форме правила вывода:

	условие доказательности:	() ()

Вторым видом является обратная к исходной теорема, в которой исходные посылка и утверждение меняются местами: «Из посылки следует утверждение ». Требование доказательности в этом случае имеет вид:

() (). (21.3)

Мы не будем записывать её в форме правила вывода. Если выполняется равенство для областей истинности:

() = (), (21.4)

то мы приходим к понятию необходимых и достаточных условий, то есть, эквивалентности данных формул:

. (21.5)

Третьим видом рассматривается теорема, противоположная данной: «Из отрицания посылки следует отрицание утверждения ».

Для этого вида теоремы условия доказательности записываются с применением областей ложности данных формул:

(21.6)

Соответственно этому можно записать форму правила вывода:

	условие доказательности:

Четвёртым видом является теорема, противоположная обратной, которая имеет вид: «Из отрицания посылки следует отрицание утверждения ». В условии доказательности по сравнению с предыдущим меняются местами левая и правая части:

. (21.7)

В этом случае мы также не будем записывать соответствующее правило вывода ввиду его очевидности.

Контрольные вопросы:

1. Понятие о доказательствах, их виды.

2. Структура условий теоремы.

3. Формулировка теоремы.

4. Формулы для посылки и утверждения теоремы.

5. Структура прямой исходной теоремы.

6. Схемы и формы вывода.

7. Структура теоремы, обратной исходной.

8. Понятие о необходимых и достаточных условиях.

9. Теорема, противоположная для исходной.

10. Теорема, обратная для противоположной.