Аксиоматические теории

Рассматривается аксиоматический метод построения математических теорий. Обсуждаются свойства непротиворечивости и полноты аксиоматических теорий.

Греки превратили математику в логическую систему, в которой от исходных предположений с помощью логического вывода, называемого доказательством, можно переходить к заключениям. В математике ничего не требуется принимать на веру. Математик ничего не рассказывает нам о реальности. Он говорит лишь о том, что одно следует из другого, и показывает, как именно это происходит. В истинности логических построений математика каждый может убедиться своим собственным разумом.

Ганс Фрейденталь. Математика в науке и вокруг нас

Одной из замечательных особенностей математических исследований двадцатого столетия является чрезвычайно широкое использование аксиоматического метода. Можно сказать, что математическая наука достигает совершенства лишь тогда, когда она принимает характер аксиоматической теории.

В данной лекции рассматривается аксиоматический или дедуктивный метод построения математических теорий. Материал излагается на неформальном (содержательном) уровне примерно в том объеме, в каком он используется в повседневном математическом обиходе.