Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | ||
|
Понятие предиката является обобщением понятия высказывания. Предикат – это предложение, похожее на высказывание, но о нем (в общем случае) нельзя судить, истинно оно или ложно.
Теория предикатов по сравнению с теорией высказываний является более тонким инструментом для изучения закономерностей процессов умозаключения, составляющих предмет математической логики.
Рассмотрим следующие предложения:
1) “ x – простое число” – P(x), N.
2) “ x>y ” – Q(x,y), Z, Q.
3) “ x+y=z ” – R(x,y,z), R.
Каждое из предложений 1) – 3) не является высказыванием, так как мы не можем сказать, истинны они или ложны.
Однако после подстановки вместо конкретных значений из указанных множеств мы будем получать высказывания, истинные или ложные. Например,
1) P (3) - “3 – простое число” – истинное высказывание,
P (4) – ложное высказывание.
2) Q () –истинное высказывание,
Q () - ложное высказывание.
3) R (2,3,5) – истинное высказывание, и так далее.
Предложение 1) – 3) являются примерами предикатов.
Определение 14. –местным предикатом, определенным на множествах , или на множестве , называется предложение, содержащее переменных , которое превращается в высказывание при замене переменной на , , , и обозначается .
Замечание. В определении 14 полагают, что N . При получаем 0-местный предикат, то есть высказывание высказывание – это частный случай предиката.
Переменные в предикате называются предметными переменными.
Множество называется множеством (областью) допустимых значений переменной , .
Определение 15. Пусть - предикат на множествах .
Говорят, что последовательность , где , , удовлетворяет предикату , если - истинное высказывание.
Определение 16. Пусть - предикат на множествах .
Множеством (или областью) истинности предиката называется множество всех последовательностей , , , которые удовлетворяют предикату , и обозначается , то есть .
Виды предикатов
Определение 17. Предикат (на множествах ) называется тождественно истинным, если при любых допустимых значениях его переменных он превращается в истинное высказывание.
Определение 18. Предикат называется тождественно ложным, если при любых допустимых значениях его переменных он превращается в ложное высказывание.
Определение 19. Предикат называется выполнимым, если найдется хотя бы один набор допустимых значений его переменных, при котором превращается в истинное высказывание.
Определение 20. Предикат называется опровержимым, если найдется хотя бы один набор допустимых значений его переменных, при котором превращается в ложное высказывание.
Лемма 1. Пусть - предикат на множествах справедливы следующие утверждения:
1) - тождественно истинный предикат .
2) - тождественно ложный предикат Ø.
3) - выполнимый предикат Ø.
4) - опровержимый предикат .
Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.
Примеры.
1. - R – тождественно ложный предикат, опровержимый.
2. “ x делится на 5” - Z – выполнимый, опровержимый.
3. - N – тождественно истинный предикат, выполнимый.
Равносильность предикатов.
Определение 21. Два -местных предиката и на множествах называются равносильными, если выполняется утверждение: , и обозначается .
Определение 22'. Два -местных предиката и , заданных на одних и тех же множествах, называются равносильными, если их множества истинности совпадают, то есть если .
Лемма 2. Отношение равносильности является отношением эквивалентности на множестве всех - местных предикатов, заданных на множествах .
Доказательство.
1. Рефлексивность: .
2. Симметричность: Пусть .
3. Транзитивность: Пусть и и . Лемма доказана.
Замечание 1.
Переход от предиката к равносильному ему предикату называется равносильным преобразованием предиката . Это понятие играет важную роль в школьной математике, так как изучаемые в ней уравнения и неравенства представляют собой частные виды предикатов.
Решение уравнения или неравенства представляет собой поиск множества истинности предиката. При таком поиске мы проделываем над уравнением или неравенством различные преобразования и здесь важно, чтобы эти преобразования были равносильными, то есть чтобы найденное множество истинности было множеством истинности именно исходного уравнения или неравенства.
Пример.
Предикаты , R и , R равносильны.
Следовательно, (-3,-2) – решение неравенства (то есть множество истинности предиката ).
Логические операции над предикатами
Над предикатами можно выполнять те же логические операции, что и над высказываниями: ┐, .
I. Отрицание предиката.
Определение 23. Отрицанием - местного предиката , заданного на множестве , называется -местный предикат на множестве , обозначаемый ┐ (читается “неверно, что ”), такой, что высказывание ┐ является отрицанием высказывания .
II. Конъюнкция предикатов.
Определение 24. Конъюнкцией -местного предиката , заданного на множестве , и -местного предиката , заданного на множестве , называется -местный предикат на множестве , обозначаемый (читается “ и ”) такой, что высказывание является конъюнкцией высказываний и .
III. Дизъюнкция предикатов.
Определение 25. Дизъюнкцией -местного предиката , заданного на множестве , и -местного предиката , заданного на множестве , называется -местный предикат, заданный на множестве , обозначаемый (читается “ или ”), такой, что высказывание является дизъюнкцией высказываний и .
IV. и V. Импликация и эквиваленция предикатов.
Определение и - формулируются аналогично определениям 24 и 25.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 3440 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!