![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Понятие предиката является обобщением понятия высказывания. Предикат – это предложение, похожее на высказывание, но о нем (в общем случае) нельзя судить, истинно оно или ложно.
Теория предикатов по сравнению с теорией высказываний является более тонким инструментом для изучения закономерностей процессов умозаключения, составляющих предмет математической логики.
Рассмотрим следующие предложения:
1) “ x – простое число” – P(x), N.
2) “ x>y ” – Q(x,y), Z,
Q.
3) “ x+y=z ” – R(x,y,z), R.
Каждое из предложений 1) – 3) не является высказыванием, так как мы не можем сказать, истинны они или ложны.
Однако после подстановки вместо конкретных значений из указанных множеств мы будем получать высказывания, истинные или ложные. Например,
1) P (3) - “3 – простое число” – истинное высказывание,
P (4) – ложное высказывание.
2) Q () –истинное высказывание,
Q () - ложное высказывание.
3) R (2,3,5) – истинное высказывание, и так далее.
Предложение 1) – 3) являются примерами предикатов.
Определение 14. –местным предикатом, определенным на множествах
, или на множестве
, называется предложение, содержащее
переменных
, которое превращается в высказывание при замене переменной
на
,
,
, и обозначается
.
Замечание. В определении 14 полагают, что N
. При
получаем 0-местный предикат, то есть высказывание
высказывание – это частный случай предиката.
Переменные в предикате
называются предметными переменными.
Множество называется множеством (областью) допустимых значений переменной
,
.
Определение 15. Пусть - предикат на множествах
.
Говорят, что последовательность , где
,
, удовлетворяет предикату
, если
- истинное высказывание.
Определение 16. Пусть - предикат на множествах
.
Множеством (или областью) истинности предиката называется множество всех последовательностей
,
,
, которые удовлетворяют предикату
, и обозначается
, то есть
.
Виды предикатов
Определение 17. Предикат (на множествах
) называется тождественно истинным, если при любых допустимых значениях его переменных он превращается в истинное высказывание.
Определение 18. Предикат называется тождественно ложным, если при любых допустимых значениях его переменных он превращается в ложное высказывание.
Определение 19. Предикат называется выполнимым, если найдется хотя бы один набор допустимых значений его переменных, при котором
превращается в истинное высказывание.
Определение 20. Предикат называется опровержимым, если найдется хотя бы один набор допустимых значений его переменных, при котором
превращается в ложное высказывание.
Лемма 1. Пусть - предикат на множествах
справедливы следующие утверждения:
1) - тождественно истинный предикат
.
2) - тождественно ложный предикат
Ø.
3) - выполнимый предикат
Ø.
4) - опровержимый предикат
.
Доказательство осуществляется непосредственной проверкой.
Примеры.
1. -
R – тождественно ложный предикат, опровержимый.
2. “ x делится на 5” - Z – выполнимый, опровержимый.
3. -
N – тождественно истинный предикат, выполнимый.
Равносильность предикатов.
Определение 21. Два -местных предиката
и
на множествах
называются равносильными, если
выполняется утверждение:
, и обозначается
.
Определение 22'. Два -местных предиката
и
, заданных на одних и тех же множествах, называются равносильными, если их множества истинности совпадают, то есть если
.
Лемма 2. Отношение равносильности является отношением эквивалентности на множестве всех - местных предикатов, заданных на множествах
.
Доказательство.
1. Рефлексивность:
.
2. Симметричность: Пусть
.
3. Транзитивность: Пусть
и
и
. Лемма доказана.
Замечание 1.
Переход от предиката к равносильному ему предикату
называется равносильным преобразованием предиката
. Это понятие играет важную роль в школьной математике, так как изучаемые в ней уравнения и неравенства представляют собой частные виды предикатов.
Решение уравнения или неравенства представляет собой поиск множества истинности предиката. При таком поиске мы проделываем над уравнением или неравенством различные преобразования и здесь важно, чтобы эти преобразования были равносильными, то есть чтобы найденное множество истинности было множеством истинности именно исходного уравнения или неравенства.
Пример.
Предикаты ,
R и
,
R равносильны.
Следовательно, (-3,-2) – решение неравенства (то есть множество истинности предиката
).
Логические операции над предикатами
Над предикатами можно выполнять те же логические операции, что и над высказываниями: ┐, .
I. Отрицание предиката.
Определение 23. Отрицанием - местного предиката
, заданного на множестве
, называется
-местный предикат на множестве
, обозначаемый ┐
(читается “неверно, что
”), такой, что
высказывание ┐
является отрицанием высказывания
.
II. Конъюнкция предикатов.
Определение 24. Конъюнкцией -местного предиката
, заданного на множестве
, и
-местного предиката
, заданного на множестве
, называется
-местный предикат на множестве
, обозначаемый
(читается “
и
”) такой, что
высказывание
является конъюнкцией высказываний
и
.
III. Дизъюнкция предикатов.
Определение 25. Дизъюнкцией -местного предиката
, заданного на множестве
, и
-местного предиката
, заданного на множестве
, называется
-местный предикат, заданный на множестве
, обозначаемый
(читается “
или
”), такой, что
высказывание
является дизъюнкцией высказываний
и
.
IV. и V. Импликация и эквиваленция предикатов.
Определение и
- формулируются аналогично определениям 24 и 25.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 3463 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!