![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
В математике утверждения, выводимые из аксиом, определений и ранее доказанных утверждений, называются теоремами. В алгебре высказываний теоремой называют истинное высказывание вида . В теореме
высказывание
называется условием теоремы, высказывание
- заключением теоремы.
Различают простые и составные теоремы. Теорема называется простой, если высказывания
и
являются простыми. Теорема
называется составной, если хотя бы одно из высказываний
или
является составным. Поскольку понятие простого (составного) высказывания является относительным, то и понятие простой (составной) теоремы является относительным.
Иногда доказательство составной теоремы можно свести к доказательству нескольких простых теорем.
Теорема 4. Пусть - теорема и
. Тогда
.
Доказательство. Используя равносильные преобразования формул АВ, получим
. Теорема доказана.
Теорема 5. Пусть - теорема и
. Тогда
.
Доказательство. Используя равносильные преобразования формул АВ, получим
. Теорема доказана.
Взаимно обратные и взаимно противоположные теоремы
Если в теореме условие
заменить на заключение
, то получим утверждение, которое называется утверждением, обратным теореме
, и обозначается
, т.е.
. Если утверждение
является теоремой, то она называется теоремой, обратной теореме
.
Пусть - теорема. Если в теореме
условие
заменить на заключение
, то получим теорему
, т.е. теорема
является обратной теореме
. Поэтому теоремы
и
называют взаимно обратными теоремами.
Если в теореме условие
заменить его отрицанием
, а заключение
заменить отрицанием
, то получим утверждение, которое называется утверждением, противоположным теореме
, и обозначается
, т.е.
. Если утверждение
является теоремой, то она называется теоремой, противоположной теореме
.
Пусть - теорема. Если в теореме
условие
заменить его отрицанием
, а заключение
заменить отрицанием
, то получим теорему
, т.е. теорема
является противоположной теореме
. Поэтому теоремы
и
называют взаимно противоположными теоремами.
Рассмотрим утверждения, обратное противоположному и противоположное обратному:
;
.
Таким образом,
.
Замечание 1. Поскольку
, т.е. утверждения
и
равносильны, то утверждение, обратное противоположному теореме
, всегда является истинным.
Замечание 2. Поскольку , то утверждение, обратное теореме
, является истинным тогда и только тогда, когда утверждение, противоположное теореме
, является истинным.
Необходимые и достаточные условия в теореме
В теореме высказывание
называется достаточным условием для
, поскольку выполнимость
влечет выполнимость
(из
и
следует
). Высказывание
в теореме
называется необходимым условием для
, поскольку невыполнимость
влечет невыполнимость
(из
и
следует
).
Пример 1. Сформулируем теорему «Если целое число a делится на 9, то число а делится на 3» с использованием слов «необходимо» и «достаточно»:
- «Для того, чтобы целое число а делилось на 3, достаточно, чтобы число а делилось на 9»;
- «Для того, чтобы целое число а делилось на 9, необходимо, чтобы число а делилось на 3».
Замечание 3. Если утверждение является теоремой, то в теореме
высказывание
также является и необходимым условием для
(а
является достаточным условием для
), т.е.
- необходимое и достаточное условие для
(а также,
- необходимое и достаточное условие для
). Высказывание
в этом случае называют критерием
(для
).
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 433 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!