Производную сложной функции выражает

Теорема 4. Если y = f(u) и и = (ф(х)) — дифференцируемые функции своих аргументов, то производная сложной функции у = f (ф(х)) существует и равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной, т. е.

Очень часто в контрольных по математике на производные даются сложные функции, например, y = sin(cos5x). Производная такой функции равна -5sin5x*sin(cos5x)

Смотрите пример вычисления сложной функции на следующем видео

21. Производные элементарных функций.

Производные элементарных функций простого аргумента	Функция y = f (kx+b)	Производные элементарных функций сложного аргумента
y = xn	y = n xn −1	y =(kx + b) n	y = n k (kx + b) n −1
y = x	y =1	y =(kx + b)	y = k
y = x	y =12 x	y = kx + b	y = k 12 kx + b
y = x 1	y =−1 x 2	y =1 kx + b	y =− k 1(kx + b)2
y = cos x	y =− sinx	y = cos (kx +b)	y =− ksin (kx + b)
y = sin x	y = cosx	y = sin (kx +b)	y = kcos (kx + b)
y = tg x	y =1 cos 2 x	y = tg (kx +b)	y = k 1 cos 2(kx + b)
y = ctg x	y =−1 sin 2 x	y = ctg (kx +b)	y =− k 1 sin 2(kx + b)
y = arcsin x	y =1 1− x 2	y = arcsin (kx +b)	y = k 1 1−(kx + b)2
y = arccos x	y =−1 1− x 2	y = arccos (kx +b)	y =− k 1 1−(kx + b)2
y = arctg x	y =11+ x 2	y = arctg (kx +b)	y = k 11+(kx + b)2
y = arcctg x	y =−11+ x 2	y = arcctg (kx +b)	y =− k 11+(kx + b)2
y = ax a 0 a =1	y = ax lna a 0 a =1	y = akx + b a 0 a =1	y = k akx + b lna a 0 a =1
y = ex	y = ex	y = ekx + b	y = k ekx + b
y = logax a 0 a =1	y =1 x lna	y = loga (kx + b) a 0 a =1	y = k 1(kx + b) lna
y = lnx	y = x 1 x 0	y = ln (kx +b)	y = k 1 kx + b kx + b 0

22. Приложение производной к исследованию функций

23. Первообразная функции и неопределенный интеграл

Основной задачей дифференциального исчисления является нахождение производной f '(x) или дифференциала f '(x)dx данной функции f(x)
В интегральном исчислении решается обратная задача:
Дана функция f(x); требуется найти такую функцию F(x), производная которой равна f(x) или дифференциал которой равен f(x)dx в области определения функции f(x), т.е. в этой области функции f(x) и F(x) связаны соотношением

F'(x)=f(x)

или

dF(x)= F'(x)dx= f(x)dx

Определение 1: Функция F(x) называется первообразной функцией для данной функции f(x), если для любого x из области определения f(x) выполняется равенство F'(x)= f(x) или dF(x)= f(x)dx
Из дифференциального исчисления известно что если две функции f(x) и j (x) отличаются друг от друга на постоянную величину, то производные или дифференциалы этих функций равны, т.е. если

f(x) = j (x) + C

то

f '(x) = j '(x)

или

f '(x)dx = j '(x)dx

Известно также, что, и наоборот, если две функции f(x) и j (x) имеют одну и ту же производную или один и тот-же дифференциал, то они отличаются друг от друга на постоянную величину, т.е. если

f '(x) = j '(x) или df(x) = d j (x),

то

f(x) = j (x) + С

Отсюда непосредственно следует, что если в формуле y = F(x) + C мы будем придавать постоянной C все возможные значения, то получим все возможные первообразные функции для функции f (x)
Определение 2: Множество F(x) + C всех первообразных функций для данной функции f (x), где C принимает все возможные числовые значения, называется неопределенным интегралом от функции f (x) и обозначается символом

Таким образом, по определению,

где F'(x) = f (x) или dF(x) = f(x)dx и С - произвольная постоянная. В последней формуле f(x) называется подинтегральной функцией, f(x)dx - подинтегральным выражением, а символ - знаком неопределенного интеграла.
Неопределенным интегралом называют не только множество всех первообразных, но и любую функцию этого множества.
Таким образом, неопределенный интеграл представляет собой любую функцию, дифференциал которой равен подинтегральному выражению, а производная равна подинтегральной функции
Нахождение первообразной по данной функции f(x) называется интегрированием и является действием, обратным дифференцированию.

24. Определенный интеграл и его основные свойства. Формула Ньютона-Лейбница

Пусть функция f (x) непрерывна на замкнутом интервале [ a, b ]. Определенный интеграл от функции f (x) в пределах от a до b вводится как предел суммы бесконечно большого числа слагаемых, каждое из которых стремится к нулю:

где