A1 1 A2 X

p₂ p₁

рис.12.1.

B₁ на перпендикуляре, соответствует стратегии А₁, и В₁ на перпендикуляре, который соответствует стратегии А₂. Ордината любой точки отрезка В₁В₁ равна величине выигрыша игрока I при применении им стратегии А₁ и А₂ с вероятностями p₁ и p₂ соответственно.

Если игрок II применяет стратегию В₂, то выигрыш игрока I, будет равен a₁₂ при применении им стратегии А₁ и a₂₂ при применении стратегии А₂. Проводя аналогичные построения, получим отрезок В₂В₂. Ординаты точек, лежащих на отрезке В₂В₂,равны среднему выигрышу игрока I,если он применяет стратегии А₁ и А₂ с вероятностями p₁ и p₂ соответственно, а игрок II применяет стратегию В_2.

Для нахождения оптимальной стратегии p_A^* построим нижнюю границу выигрыша игрока I, т.е. ломаную В₂NВ₁ отмеченную на рис. жирной линией. Очевидно, что на этой ломанной лежат минимальный выигрыши игрока I при использовании им любой смешанной стратегии.

Оптимальное решение игры определяет точка N, в которой выигрыш игрока I принимает наибольшее значение. Ордината точки N равна цене игры γ. Проекции этой точки на оси абсцисс соответствует оптимальная стратегия p_A^*=(p₁,p₂), при этом расстояния от точки p_A^* до концов единичного отрезка на оси абсцисс равны вероятностям p₁ и p₂ стратегий А₁ и А₂ в оптимальной смешанной стратегии игрока I.

Оптимальная стратегия q_B^*=(q1, q2) игрока II находится аналогично. Для этого необходимо поменять местами игроков I и II, т.е. транспонировать платежную матрицу, и вместо максимального значения нижней границы выигрыша находить минимальное значение верхней границы выигрыша (рис.). Транспонированная матрица представлена в таблице.

Y Y

A1

B1

A2

N B1

A2 B2

γ B2

A1

q_B^*

0 1 X 0 1 X

B1 q₂ q₁ B2 A1 p₂ A2

Рис.12.2. рис.12.3.

Таблица

I II	A1	A2
B1	a11	a21
B2	a12	a22

На рис. решение игры определялось точкой пересечения стратегий, однако это справедливо не всегда. Так, например, на рис.12.3 показан случай, когда нижняя граница выигрыша игрока I совпадает с отрезком В₂В_2. Стратегия В₁ игрока II является для него невыгодной, так как, применяя ее, он в любом случае проигрывает больше, чем при применении стратегии В₂.

Здесь p_A^*=(p₁,p₂) =0 (0,1); γ=а_22. Игра имеет седловую точку.

На рис. показан случай, в котором решение игры для игрока I является чистая стратегия А_1, а игрока II – стратегия В₂, т.е. p_A^*=(1,0); q_B^* =(0,1); γ=а_12. Игра имеет седловую точку.

Y

B1

B2 N

B2

B1

0 1 X