Часть 2. Укажите корни, принадлежащие промежутку

C1 Решите уравнение .

Укажите корни, принадлежащие промежутку .

Ответ: , где . Промежутку принадлежат корни , и .

Решение: разделим на и сделаем замену . Получим: , где . Промежутку принадлежат корни , и .

Баллы	Критерии оценивания задания С1
	Верно решено уравнение и верно произведён отбор корней
	Верно решено уравнение, но неверно отобраны корни, принадлежащие указанному промежутку. Или верно отобраны корни уравнения, принадлежащие данному промежутку, но общее решение уравнения не указано
	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C2 В правильной шестиугольной призме ABCТEНA₁B₁C₁Т₁E₁Н₁, все ребра которой равны, найдите угол между плоскостью основания и прямой, проходящей через середины АВ и Н₁Т₁ .

Ответ:

Решение: обозначим через М середину отрезка АВ, через К – середину отрезка , через Р – середину отрезка НТ. Угол КМР – искомый. Пусть ребро призмы равно а, тогда ВР = , ВМ = , . По теореме косинусов находим . Поэтому

Баллы	Критерии оценивания задания С2
	Обоснованно получен правильный ответ
	Способ нахождения искомого угла правильный, но получен неверный ответ или решение не закончено
	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C3 Решите систему неравенств

Ответ:

Решение: рассмотрим первое неравенство системы:

Теперь рассмотрим второе неравенство исходной системы при найденных ограничениях на х:

Баллы	Критерии оценивания задания С3
	Обоснованно получен правильный ответ
	Все шаги решения выполнены. Дано верное и обоснованное решение одного из неравенств исходной системы, но при в целом правильном решении другого неравенства исходной системы допущена одна вычислительная ошибка
	Дано верное и обоснованное решение одного из неравенств исходной системы
	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C4 В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АС, причём АК: КС = 3: 4. Точка М делит сторону АВ на два отрезка, один из которых втрое больше другого. Прямая, проходящая через точку М параллельно ВС, пересекает прямую ВК в точке Р. Найдите отношение ВР: КР.

Ответ: 7: 9 или 21: 5

Решение:

1-й случай. Пусть АМ: МВ = 3: 1. Обозначим МВ = b, АК = 3 а. Тогда АМ = 3 b, и КС = 4 а. Пусть МТ параллельно ВС, точка Т лежит на АС. Тогда АТ: ТС = АМ: МВ = 3: 1, поэтому АТ = , ТС = и КТ = . Поэтому ВР: КР = ТС: КТ = 7: 9.

2-й случай. Пусть АМ: МВ = 1: 3. Обозначим АМ = b, АК = 3 а. Тогда ВМ = 3 b, и КС = 4 а. Пусть МТ параллельно ВС, точка Т лежит на АС. Тогда АТ: ТС = АМ: МВ = 1: 3, поэтому АТ = , ТС = и КТ = . Поэтому ВР: КР = ТС: КТ = 21: 5.

Баллы	Критерии оценивания задания С4
	В приведённом решении рассмотрены оба случая, и в каждом из них обоснованно получен верный ответ
	В приведённом решении только в одном случае дано обоснование и получен верный ответ
	В приведённом решении рассмотрен только один случай, при этом не дано обоснование или допущена вычислительная ошибка
	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C5 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.

Ответ: , .

Решение: раскроем модуль и преобразуем исходную систему уравнений. Получим:

.

Условия задают на координатной плоскости «уголок» с вершиной в точке (2, 3) и лучами и , идущими вверх от точки (2, 3). Уравнение задаёт прямую, проходящую через точку (6, 5) с угловым коэффициентом 1/а при и x=6 при а=0..Поэтому исходная система уравнений имеет единственное решение тогда, когда прямая проходит через вершину (2, 3) «уголка», или когда прямая пересекает ровно один из лучей «уголка». Первому случаю соответствует , а второму – условие .

Баллы	Критерии оценивания задания С5
	Обоснованно получен правильный ответ
	Решение в целом верное и обоснованное, но допущена одна вычислительная ошибка или описка
	Ход решения в целом верный, но в решении содержатся существенные ошибки (например, не рассмотрен случай )
	Имеется некоторое существенное продвижение в решении задачи (например, дана геометрическая интерпретация обоих уравнений системы)
	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C6 Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:

а) найдутся ли три различных целых числа, которые, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а будучи расположены в некотором другом порядке, образуют геометрическую прогрессию?

б) найдутся ли шесть различных целых чисел, пять из которых, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а другие пять из этих шести, будучи расположены в некотором порядке, образуют геометрическую прогрессию?

в) найдутся ли четыре различных целых числа, которые, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а будучи расположены в некотором другом порядке, образуют геометрическую прогрессию?

Ответ: а) да; б) да; в) нет

Решение:

а) да, например, числа 1, -2, 4 образуют геометрическую прогрессию, а эти же числа, но в другом порядке -2, 1, 4 образуют арифметическую прогрессию.

б) да, например, числа -8, -2, 1, 4, 10, 16. Причём числа -8, -2, 4, 10, 16 образуют арифметическую прогрессию, а числа 1, -2, 4, -8, 16 образуют геометрическую прогрессию.

в) нет. Действительно, пусть четыре целых числа, расположенные в определённом порядке, образуют геометрическую прогрессию. Тогда знаменатель этой прогрессии является рациональным числом, а сама последовательность имеет вид: , , , , где , , причём числа m и n не имеют общих делителей, а число k делится нацело на , . Но целые числа , , , ни в каком порядке не могут образовывать арифметическую прогрессию. Это следует из того, что сумма любых двух из них не равна сумме двух других, так как , и (в каждом из случаев три числа делятся на m, а одно не делится).

Баллы	Критерии оценивания задания С6
	Даны вполне обоснованные ответы на все три вопроса
	Даны обоснованные ответы на все три вопроса, но при ответе на вопрос в) допущена неточность в обосновании
	Даны обоснованные ответы на два вопроса
	Дан обоснованный ответ на один из вопросов
	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Вариант 4