Часть 2. Система оценивания контрольных измерительных материалов по МАТЕМАТИКЕ

Система оценивания контрольных измерительных материалов по МАТЕМАТИКЕ

Ответы к заданиям части 1

Правильное решение каждого из заданий В1–В14 части 1 оценивается 1 баллом. Задание считается выполненным верно, если экзаменуемый дал правильный ответ в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Задания части 2 оцениваются от 0 до 4 баллов. Полное правильное решение каждого из заданий С1 и С2 оценивается 2 баллами, каждого из заданий С3 и С4 – 3 баллами, каждого из заданий С5 и С6 – 4 баллами.

Проверка выполнения заданий части 2 проводится экспертами на основе специально разработанной системы критериев.

Максимальный балл за всю работу – 32.

Минимальный уровень подготовки, подтверждающий освоение выпускником основных общеобразовательных программ общего (полного) среднего образования – 5 первичных баллов.

№ задания	Вариант 1	Вариант 2	Вариант 3	Вариант 4
В1
В2
В3
В4		0,96	2,5
В5	-0,25		-11
В6			2,5
В7	-2,4	-6	-14	3,6
В8	0,5		-7
В9
В10	0,16	0,92	0,375	0,17
В11
В12		3,3
В13
В14	-7

Ответы, решения и критерии оценивания

к заданиям части 2

Общие требования к выполнению заданий части С. Решение должно быть математически грамотным, полным, все возможные случаи должны быть рассмотрены, из решения должен быть понятен ход рассуждений обучающегося. Методы решения, формы его записи и формы записи ответа могут быть разными. За решение, в котором обоснованно получен правильный ответ, выставляется максимальное число баллов.

Эксперты проверяют математическое содержание представленного решения, а особенности записи не учитывают.

Правильный ответ при отсутствии текста решения оценивается в 0 баллов.

При выполнении заданий обучающийся может использовать без доказательства и ссылок любые математические факты, содержащиеся в учебниках и учебных пособиях, входящих в Федеральный перечень учебников, рекомендованных (допущенных) Министерством образования и науки Российской Федерации.

Вариант 1

Часть 2

C1 Решите уравнение .

Укажите корни, принадлежащие промежутку .

Ответ: , где . Промежутку принадлежат корни , и .

Решение: перенесём все слагаемые в левую часть уравнения и разложим левую часть на множители. Получим: , где . Промежутку принадлежат корни , и .

Баллы	Критерии оценивания задания С1
	Верно решено уравнение и верно произведён отбор корней
	Верно решено уравнение, но неверно отобраны корни, принадлежащие указанному промежутку. Или верно отобраны корни уравнения, принадлежащие данному промежутку, но общее решение уравнения не указано
	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C2 В правильной четырёхугольной пирамиде НАВСТ с вершиной Н все рёбра равны. Найдите угол между плоскостями АКВ и СМТ, где К – середина ребра НТ, а М – середина ребра НВ.

Ответ:

Решение: плоскость АКВ проходит через среднюю линию КР треугольника ТНС, а плоскость СМТ проходит через среднюю линию МЕ треугольника АНВ. Обозначим за О середину АВ, а за Д – середину ТС. Плоскость НДО является плоскостью симметрии, она перпендикулярна плоскостям АВК и СМТ. Обозначим за О₁ середину МЕ, за Д₁ – середину МР, а за Н₁ – точку пересечения ОД₁ и О₁Д. Угол ОН₁О₁ = – искомый острый угол между плоскостями АВК и СМТ. Найдём его. Пусть длины всех рёбер пирамиды равны 4. Тогда ОД = 4, ОО₁ = О₁Н = НД₁ = Д₁Д = . Опустим из точки Д₁ перпендикуляр Д₁Д₂ к основанию ОД. Тогда ОД₂ = ОД = 3, Д₁Д₂ = . Угол ОД₁Д₂ равен половине искомого угла , тангенс угла ОД₁Д₂ равен . Поэтому и .

Замечание: Возможна другая форма ответа, например

Баллы	Критерии оценивания задания С2
	Обоснованно получен правильный ответ
	Способ нахождения искомого угла правильный, но получен неверный ответ или решение не закончено
	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C3 Решите систему неравенств

Ответ: х = -3.

Решение: рассмотрим первое неравенство системы:

.

С учётом полученного рассмотрим далее второе неравенство системы:

Таким образом, единственным решением системы является х = -3.

Баллы	Критерии оценивания задания С3
	Обоснованно получен правильный ответ
	Все шаги решения выполнены. Дано верное и обоснованное решение одного из неравенств исходной системы, но при в целом правильном решении другого неравенства исходной системы допущена одна вычислительная ошибка
	Дано верное и обоснованное решение одного из неравенств исходной системы
	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C4 В треугольнике АВС точка К лежит на стороне АС, причём АК: КС = 2: 3. Точка М делит сторону АВ на два отрезка, один из которых втрое больше другого. Прямая, проходящая через точку М параллельно ВС, пересекает прямую ВК в точке Р. Найдите отношение ВР: КР.

Ответ: 5: 7 или 5: 1

Решение:

1-й случай. Пусть АМ: МВ = 3: 1. Обозначим МВ = b, АК = 2 а. Тогда АМ = 3 b, и КС = 3 а. Пусть МТ параллельно ВС, точка Т лежит на АС. Тогда АТ: ТС = АМ: МВ = 3: 1, поэтому АТ = , ТС = и КТ = . Поэтому ВР: КР = ТС: КТ = 5: 7.

2-й случай. Пусть АМ: МВ = 1: 3. Обозначим АМ = b, АК = 2 а. Тогда ВМ = 3 b, и КС = 3 а. Пусть МТ параллельно ВС, точка Т лежит на АС. Тогда АТ: ТС = АМ: МВ = 1: 3, поэтому АТ = , ТС = и КТ = . Поэтому ВР: КР = ТС: КТ = 5: 1.

Баллы	Критерии оценивания задания С4
	В приведённом решении рассмотрены оба случая, и в каждом из них обоснованно получен верный ответ
	В приведённом решении только в одном случае дано обоснование и получен верный ответ
	В приведённом решении рассмотрен только один случай, при этом не дано обоснование или допущена вычислительная ошибка
	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C5 Найдите все значения параметра а, при каждом из которых система уравнений имеет единственное решение.

Ответ: , .

Решение: раскроем модуль и преобразуем исходную систему уравнений. Получим:

.

Условия задают на координатной плоскости «уголок» с вершиной в точке (3, 2) и лучами и , идущими вверх от точки (3, 2). Уравнение задаёт прямую, проходящую через точку (7, 4) с угловым коэффициентом 1/ а при и прямую x = 7 при а = 0..Поэтому исходная система уравнений имеет единственное решение тогда, когда прямая проходит через вершину (3, 2) «уголка», или когда прямая пересекает ровно один из лучей «уголка». Первому случаю соответствует , а второму – условие .

Баллы	Критерии оценивания задания С5
	Обоснованно получен правильный ответ
	Решение в целом верное и обоснованное, но допущена одна вычислительная ошибка или описка
	Ход решения в целом верный, но в решении содержатся существенные ошибки (например, не рассмотрен случай )
	Имеется некоторое существенное продвижение в решении задачи (например, дана геометрическая интерпретация обоих уравнений системы)
	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

C6 Дайте обоснованные ответы на следующие вопросы:

а) найдутся ли три различных целых числа, которые, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а будучи расположены в некотором другом порядке, образуют геометрическую прогрессию?

б) найдутся ли пять различных целых чисел, четыре из которых, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а другие четыре из этих пяти, будучи расположены в некотором порядке, образуют геометрическую прогрессию?

в) найдутся ли четыре различных целых числа, которые, будучи расположены в одном порядке, образуют арифметическую прогрессию, а будучи расположены в некотором другом порядке, образуют геометрическую прогрессию?

Ответ: а) да; б) да; в) нет

Решение:

а) да, например, числа 1, -2, 4 образуют геометрическую прогрессию, а эти же числа, но в другом порядке -2, 1, 4 образуют арифметическую прогрессию.

б) да, например, числа -8, -2, 1, 4, 10. Причём числа -8, -2, 4, 10 образуют арифметическую прогрессию, а числа 1, -2, 4, -8 образуют геометрическую прогрессию.

в) нет. Действительно, пусть четыре целых числа, расположенные в определённом порядке, образуют геометрическую прогрессию. Тогда знаменатель этой прогрессии является рациональным числом, а сама последовательность имеет вид: , , , , где , , причём числа m и n не имеют общих делителей, а число k делится нацело на , . Но целые числа , , , ни в каком порядке не могут образовывать арифметическую прогрессию. Это следует из того, что сумма любых двух из них не равна сумме двух других, так как , и (в каждом из случаев три числа делятся на m, а одно не делится).

Баллы	Критерии оценивания задания С6
	Даны вполне обоснованные ответы на все три вопроса
	Даны обоснованные ответы на все три вопроса, но при ответе на вопрос в) допущена неточность в обосновании
	Даны обоснованные ответы на два вопроса
	Дан обоснованный ответ на один из вопросов
	Решение не соответствует ни одному из критериев, перечисленных выше

Вариант 2