построить линию регрессии и экспериментальные точки

Решение.

1) Коэффициенты и b уравнения линейной регрессии находятся по следующим формулам:

;

,

где - число наблюдений. В нашем случае .

Чтобы определить коэффициенты и b, а так же коэффициент корреляции , составляем расчетную таблицу.

Тогда получаем

;

.

Итак, уравнение линейной регрессии имеет вид:

.

2) Выборочный коэффициент корреляции находится по следующей формуле:

.

Тогда получаем

.

3) Выше получили, что коэффициент корреляции .

Так как рассмотренная выборка отобрана случайна, то еще нельзя заключить, что коэффициент корреляции генеральной совокупности также отличен от нуля.

При заданном уровне значимости проверим нулевую гипотезу H ₀.

H ₀: равенство нулю генерального коэффициента корреляции, т.е. .

Конкурирующая гипотеза H ₁: .

Если нулевая гипотеза будет отвергнута, то это значит, что выборочный коэффициент корреляции значимо отличается от нуля, а X и Y коррелированны, т.е. связаны линейной зависимостью. Если нулевая гипотеза будет принята, то выборочный коэффициент корреляции незначим, а X и Y некоррелированы, т.е. не связаны линейной зависимостью.

Для проверки нулевой гипотезы найдем статистику по следующей формуле:

,

где - сумма квадратов, обусловленная регрессией;

- остаточная сумма квадратов;

n – число наблюдений;

l – число групп в корреляционной таблице или число оцениваемых параметров в несгруппированной выборке.

Для определения статистики t составляем расчетную таблицу.

Значения находим из уравнения регрессии, подставляя соответствующие значения . Среднюю выборочную находим следующим образом:

.

Итак, получаем .

В нашем случае число наблюдений . Поскольку рассматривается линейная регрессия, то - число оцениваемых параметров.

При по таблицам распределения Фишера находим .

Вычисляем статистику.

.

Так как , то уравнение линейной регрессии значимо. Принимаем конкурирующую гипотезу H ₁: .

4) Строим линию регрессии и экспериментальные точки .