Решение. Запишем задачу в каноническом виде:

Запишем задачу в каноническом виде:

при условиях:

Расширенная матрица системы:

= ~ ,

Таким образом, , и в системе три базисных переменных - и две свободных - .

Приведем систему к допустимому виду, выразив базисные переменные через свободные:

(5)

Целевая функция изначально оказалась записанной только через свободные переменные: (поэтому выражения (5) нам не пригодились).

Система уравнений

записана в том виде, в каком будем ее использовать при составлении таблицы. Из выражения для целевой функции получим следующее равенство (эти коэффициенты при переменных вносятся в нижнюю строку таблицы).

Заполним таблицу 1.

Таблица 1

Базисные переменные	Свободные члены						Отно- шение
		-2					-
			-2
Z		1	-1

В последней строке есть положительный коэффициент – это коэффициент в столбце . Выделим этот столбец стрелочкой, этот столбец называется разрешающим столбцом. (Если положительных коэффициентов в последней строке несколько, выбирают столбец с наибольшим коэффициентом). В разрешающем столбце имеются положительные числа (в строках 2 и 3 этого столбца). Находим отношение свободных членов к элементам разрешающего столбца и . Так как 2 < 5, то выделяем горизонтальной стрелкой строку при базисной переменной . Разрешающим элементом является 1 (находится в кружочке).

Заполним таблицу 2. В базисных переменных заменится на . Для этого умножаем выделенную строку на и записываем результат вместо этой строки.

Таблица 2

Базисные переменные	Свободные переменные						Отно- шение
			-3				-
			-2
			3		-1
Z	-2		1		-1

Умножаем вторую строку таблицы 2 и складываем с соответствующими значениями первой строки таблицы 1. Результат записываем в первую строку таблице 2. В столбце при переменной появился ноль. Далее умножаем вторую строку таблицы 2 на -1 и складываем с соответствующими значениями третьей строки таблицы 1 и результат записываем в третьей строке таблицы 2. В столбце при переменной снова появляется ноль.

Умножаем вторую строку таблицы 2 на -1 и складываем с соответствующими значениями четвертой строки таблицы 1 и результат записываем в четвертой строке таблицы 2. В столбце при переменной снова появился ноль.

В последней строке есть положительное число – коэффициент в столбце при переменной . Отметим этот столбец вертикальной стрелкой. Положительным является также число в третьей строке, выделяем эту строку горизонтальной стрелкой. Разрешающим элементом является 3.

Заполняем таблицу 3.

Умножаем выделенную строку на и записываем результат вместо этой строки.

Таблица 3

Базисные переменные	Свободные переменные
					1/3	2/3
					-1/3	1/3
Z	-3				-2/3	-1/3

Третью строку таблицы умножаем на 3 и складываем с первой строкой, умножаем на 2 и складываем со второй строкой, умножаем на -1 и складываем с четвертой строкой таблицы 2.

В таблице 3 последняя строка не имеет положительных чисел в последних пяти столбцах. Значит, достигнуто оптимальное решение.

Базисные переменные , , . Следовательно, базисным решением являются соответствующие свободные члены в первой, второй и третьей строках. Базисное решение для свободных переменных , равно нулю. Таким образом, оптимальное решение имеет вид =4, =1, =9, =0, =0.

Минимальным значением целевой функции является свободный член в последней строке

Пример 2. Найти максимальное значение функции:

при условиях:

Решение

Сведем задачу на максимум к задаче на минимум. Для этого целевую функцию умножим на (-1):

.

Для решения задачи симплекс-методом приведем систему уравнений к допустимому виду.

Запишем расширенную матрицу системы уравнений и приведем ее к трапециевидному виду:

.

Следовательно, система уравнений совместна и неопределенная.

По матрице трапециевидного вида восстановим систему:

Переменные , , - базисные, , - свободные. Выражаем базисные переменные через свободные:

Получим систему уравнений допустимого вида.

Выразим целевую функцию через свободные переменные:

Таким образом, задачу можно сформулировать следующим образом:

Для составления первой симплекс - таблицы запишем задачу в виде:

при условиях:

Заполним первую симплекс-таблицу.

Таблица 1

Базисные переменные	Свободные члены						Отно- шение
		-2	-1				-
		-3
			-1				-
Z1	-12	-18	5

В последней строке есть положительный коэффициент в столбце переменной . Положительным является также число в строке базисной переменной . Разрешающим элементом является 2.

Строим вторую таблицу. Для этого умножаем выделенную стрелкой строку на дробь и записываем результат вместо этой строки в новую таблицу (таблица 2).

Умножаем вторую строку новой таблицы на 1 и складываем с первой, умножаем на 1 и складываем с третьей, умножаем на -5 и складываем с четвертой строкой старой таблицы.

Таблица 2

Базисные переменные	Свободные члены
		-7/2			½
		-3/2			½
		7/2			½
Z1	-17	-21/2			-5/2

В новой таблице последняя строка не имеет положительных чисел в последних пяти столбцах. Значит, достигнуто оптимальное решение. Базисным решением для переменных , , являются соответствующие свободные члены. Базисное решение для свободных переменных , равно нулю. Таким образом, оптимальное решение имеет вид:

=0, =1, =2, =0, =2,

,

.