Интерполяционный многочлен Лагранжа

Интерполяционная формула Лагранжа используется для произвольно заданных узлов интерполирования.

Пусть в точках x₀, x₁, …, x_n таких, что a£ x₀<…< x_n£b, известны значения функции y=f(x), т.е. на отрезке [a, b] задана табличная (сеточная) функция

x	x0	x1	…	xn
y	y0	y1	…	yn

f(x): (2.1)
Требуется построить полином L_n(x) степени не выше n, имеющий в заданных узлах x₀, x₁, …, x_n те же значения, что и функция f(x), т.е. такой, что

L_n(x_i)=y_i (i=0, 1, 2,…, n).

Будем строить многочлен n -ой степени L_n(x) в виде линейной комбинации многочленов n -й же степени l_i(x) (i=0, 1, 2,…, n). Индекс i показывает номер многочлена. Для того чтобы этот многочлен был интерполяционным для функции f(x), достаточно зафиксировать в качестве коэффициентов c_i этой линейной комбинации заданные в табл. (2.1) значения y_i=f(x_i), а от базисных многочленов l_i(x) потребовать выполнения условия

(2.2)

где d_ij – символ Кронекера.

В этом случае для многочлена

в каждом узле x_j (jÎ{0, 1,…,n}), в силу (2.2), справедливо

L_n(x_j)=l₀(x_j)y₀+…+l_j-1(x_j)y_j-1+l_j(x_j)y_j+l_j+1(x_j)y_j+1+…+l_n(x_j)y_n=0+…+0+y_j+0+…+0=y_j

Чтобы конкретизировать базисные многочлены l_i(x), учтем, что они должны удовлетворять условиям (2.2). Равенство нулю i -го многочлена во всех узлах, кроме i -го, означает, что l_i(x) можно записать в виде

l_i(x)=A_i(x-x₀)…(x-x_i-1)(x-x_i+1)…(x-x_n),

а коэффициент A_i этого представления легко получается из содержащегося в (2.2) требования l_i(x_i)=1. Подставляя в выражение l_i(x_i) значение x=x_i и приравнивая результат единице, получаем:

Таким образом, базисные многочлены Лагранжа имеют вид:

,

а искомый интерполяционный многочлен Лагранжа:

(2.3)

Пример. Построить интерполяционный полином для функции y=sin x.

Возьмем сетку, состоящую из трех точек: x₀=0; x₁= ; x₂= , выпишем соответствующие этим аргументам значения функции sin x: y₀=0; y₁= ; y₂=1.

Построим по этой таблице интерполяционный полином второй степени. По формуле Лагранжа (2.3):

.

Легко проверить, что в точках сетки этот полином принимает нужные значения. Чтобы получить представление о погрешности интерполирования, сравнивая значения sin x и интерполяционного полинома в точке х= .

.

Значительная величина погрешности определяется тем, что на отрезке длиной мы взяли грубую сетку, состоящую всего из трех точек. Чтобы улучшить точность интерполирования, нужно либо увеличить число точек n и повысить соответственно степень интерполяционного полинома L_n(x), либо уменьшить длину исходного отрезка.