Пусть на отрезке [a, b] заданы n+1 точки x0, x1, …, xn, которые называются узлами интерполяции, и значения некоторой функции f(x) в этих точках
f(x0)=y0, f(x1)=y1, …, f(xn)=yn (1.1)
Геометрическая интерпретация задачи интерполирования
Рис. 1.1
Требуется построить функцию φ(x) близкую к f(x) и принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x), т.е. такую, что
φ(x0)=y0, φ(x1)=y1, …, φ(xn)=yn. (1.2)
Функция φ(x) должна обладать "хорошими" свойствами, позволяющими легко производить над ней те или иные аналитические или вычислительные операции. Функцию φ(x) будем называть интерполирующей функцией. Геометрически это означает, что нужно найти кривую y=φ(x), проходящую через заданную систему точек Mi(xi, yi) (i=0, 1, 2, …, n) (рис. 1.1).
В такой общей постановке задача может иметь бесчисленное множество решений или совсем не иметь решений. Однако эта задача становится однозначной, если вместо произвольной функции φ(x) искать полином Pn(x) степени не выше n, удовлетворяющий условиям (1.2), т.е. такой, что Pn(x0)=y0, Pn(x1)=y1, …, Pn(xn)=yn. В этом случае будем говорить о полиномиальной аппроксимации. Для вычислительной математики многочлены привлекательны тем, что они являются линейными функциями своих параметров (коэффициентов), и их вычисления сводятся к выполнению конечного числа простейших арифметических операций – сложения и умножения.
Полученную интерполяционную формулу y=φ(x) обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции f(x) для значений аргумента x, отличных от узлов интерполирования. Такая операция называется интерполированием функции f(x). При этом различают интерполирование в узком смысле, когда xÎ[x0, xn], и экстраполирования, когда xÏ[x0, xn]. В дальнейшем под термином интерполирование будем понимать как первую, так и вторую операцию.
