Правила записи сложных формул

Рассмотренные логические операции позволяют формализовать с помощью термов, предикатов и кванторов внутреннюю структу­ру предложения и формировать сложные рассуждения.

Пример. Рассуждение «Некоторые действительные числа являются рациональными».

В этом рассуждении есть два предиката P ₁(x)=«быть действительным числом» и P ₂(x)=«быть рациональным числом». Формула сложного рассуждения должна быть записана так:

F =$ x (P ₁(x)Ù P ₂(x)).

Ошибочной является формула F =$ x (P ₁(x)® P ₂(x))= =«некоторые числа, если они являются действительными, то они рациональные, т. к. замена бескванторной части на равносильную дает F =$ x ( Ú P ₂(x))=«некоторые числа не являются действительными или являются рациональными».

Пример. Рассуждение «Все рациональные числа действительные». Формула сложного суждения должна быть записана так:

F =" x (P ₁(x)® P ₂(x)).

Ошибочной является формула F =" x (P ₁(x)Ù P ₂(x))=«все числа являются и действительными и рациональными».

Пример. Рассуждение «Ни один человек не является четвероногим. Все женщины – люди. Следовательно, не одна женщина не является четвероногой».

В этом рассуждении три одноместных предиката P ₁(x)=«быть индивидом», P ₂(x)=«быть женщиной» и P ₃(x)=«быть четвероногим». Формула сложного суждения должна быть записана так:

Пример. Рассуждение «Ни один торговец наркотиками не является наркоманом. Некоторые наркоманы привлекались к ответственности. Следовательно, некоторые люди, привлекавшиеся к ответственности, не являются торговцами наркотиков».

В этом рассуждении три одноместных предиката P ₁(x)=«быть торговцем наркотиков», P ₂(x)=«быть наркоманом», P ₃(x)=«привлекаться к ответственности». Формула сложного рассуждения должна быть записана так:

Пример. Рассуждение «Саша – мальчик, у которого нет машины. Таня – девочка, которая любит мальчиков, имеющих машины. Следовательно, Таня не любит Сашу». В этом суждении два одноместных предиката P ₁(x)=«быть мальчиком», P ₂(x)=«быть девочкой», и два двухместных P ₃(x, y)=«x любит y», P₄(x, y)=«x имеет y» три высказывания P ₁(a)=«Саша – мальчик», P ₂(b)=«Таня – девочка» и =«Саша не имеет машины (с)». Формула сложного рассуждения должна быть записана так:

Приведенные примеры позволяют сформулировать некоторые правила записи сложных рассуждений.

1) каждое вхождение логической связки относится к формуле, находящейся непосредственно под логической связкой;

2) каждое вхождение логической связки Ù после расстановки скобок связывает формулы, непосредственно окружающие логическую связку;

3) каждое вхождение логической связки Ú после расстановки скобок связывает формулы, непосредственно окружающие эту связку.

4) логические связки по силе и значимости могут быть упорядочены так:

; Ù; Ú; ®;«.

5) за квантором общности чаще всего следует логическая связка импликации, а за квантором существования – конъюнкции;

6) если формула содержит подформулу, то внутренняя формула не должна содержать кванторов, связывающих ту же переменную, что и квантор формулы;

7) значения всех предметных переменных и постоянных должны принадлежать одной области определения предиката или функции;

8) если в одной формуле есть кванторы общности и существования, то при формализации рассуждений следует стремиться поставить квантор существования слева всей формулы.