Предикаты

Если объект высказывания, т. е. о чем говорится в предложении, не определен, то это предложение называют высказывательной функцией. Аргументами высказывательной функции являются предметные переменные, которые обозначают строчными буквами латинского алфавита х, у, z ¼ Эта функция приобретет значение «и» (1) или «л» (0) только при подстановке в высказывательную функцию вместо предметных переменных их конкретных значений. Конкретные значения аргументов высказывательной функции называют предметными постоянными, которые обозначают строчными буквами латвийского ал­фавита а, в, с, ¼.

Высказывательную функцию иначе называют предикатом (лат. praedicatum – логическое сказуемое).

Пример.

а) если на множестве натуральных чисел задать высказывательные функции или предикаты

Р ₁(x)= «x – простое число»,

P ₂(6, y)=«y меньше 6»,

P ₃(6, y, z)=«z есть частное от деления числа 6 на y»,

где z и y есть предметные переменные (целые числа), а 6 – предметная постоянная (целое число), то высказываниями будут

P ₁(3) = 1, P ₁(4) = 0,

P ₂(6,2) = 1, P ₂(6,7) = 0,

P ₃(6,2,3) =1, P ₃(6,2,5) = 0,

б) если на множестве имен индивидов, университетов и специальностей задать высказывательные функции или предикаты

P ₄(x)=«х – студент»,

P ₅(x, ВГТУ)=«тудент х университета ВГТУ»,

P ₆(x, y, системы автоматизированного проектирования)= «студент x университета y, обучающийся по специальности «системы автоматизированного проектирования», где x и y есть предметные переменные, а ВГТУ и «системы автоматизированного проектирования» – предметные постоянные, то высказываниями будут

P ₄(Петров) = 1, P ₄(Сидоров) =0,

P ₅(Петров, ВГТУ) = 1, P ₅(Сидоров, ВГТУ) = 0,

P ₆(Петров, ВГТУ, «системы автоматизированного проектирования») = 1,

P ₆(Сидоров, ВГТУ, «системы автоматизированного проектирования») = 0.

Множество предметных переменных Т ₁= { x, y, z,..} и постоянных Т ₂={ a, b, c,..}, функциональных символов Т ₃={ f ⁱ₁; f^j₂; f ^k₃;..} и предикатных Т ₄=(P ⁱ₁; P ^j₂; P ^k₃;..} с заданными над T ={ T ₁; T ₂; T ₃; T ₄} логическими операциями F ={ , Ù,Ú, ®,«, ", $} формируют алгебру предикатов, т.е.

A_п =< T, F >.

Любую предметную переменную и предметную постоянную называют терм и обозначают символом t_i.

Если f ⁿ_i есть n -местный функциональный символ и t ₁, t ₂,¼ t_n – термы, то f ⁿ_i (t ₁, t ₂,¼ t_n) также есть терм, где n –число аргументов функции, i – числовой индекс функции.

Никаких иных термов нет.

Если P ⁿ_i – n -местный предикатный символ и t ₁, t ₂,¼ t_n – термы, то F = Pⁿ_i (t ₁, t ₂,¼ t_n) – элементарная формула или атом. Предметные переменные, входящие в термы атома, являются свободными.

Если F ₁ и F ₂ формулы, то , (F ₁Ù F ₂), (F ₁Ú F ₂), (F ₁® F ₂), также формулы.

В этих формулах предметные переменные также являются свободными.

Если F формула, a x – предметная переменная, входящая в атомы формулы F, то " x (F)и $ x (F) также формулы. В этих формулах предметная переменная x среди множества термов формулы F является связанной.

Никаких иных формул нет.

Для формирования сложных формул используют вспомогательные символы (и) (скобки).