 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Математическая индукция
|
|
Один из важных методом математического доказательства, который охватывает бесконечное множество случаев, основывается на принципе (аксиоме) индукции.
Теорема о принципе математической индукции. Если некоторое предложение А(п) верно при п = 1 и из предложения, что оно верно при некотором значении п = k, следует, что это предложение верно и при следующем значении п = k+1, то предложение А(п) верно при всех пÎN
Например. Докажем, что для любого натурального числа истинно равенство 1+3+5+…+(2п-1)=п2.
Доказательство. Равенство 1+3+5+…+ (2п-1)=п2 представляет собой формулу, по которой можно находить сумму п первых последовательных нечетных натуральных чисел. Например, 1+3+5+7=42=16; если сумма содержит 20 слагаемых указанного вида, то она равна 202=400 и т.д.
1) Убедимся в истинности данного равенства п=1. При п=1 левая часть равенства состоит из одного члена, равного 1, правая часть равна 12. Так как 12 =1, то для п = 1 данное равенство истинно.
2) Предположим, что данное равенство истинно для п =k, т.е. что 1+3+5+…+(2 k -1) = k2. Исходя из этого предположения, докажем, что оно истинно и для п = k+1, т.е. 1+3+5+…+ (2п-1) + (2п+1) = k2+ 2k+1. Выражение k2+ 2k+1 тождественно равно выражению (k+1)2. Следовательно, истинность данного равенства для п = k+1 доказана.
Вывод: данное равенство истинно для п =1 и из истинности его для п = k следует истинность для п = k +1. Тем самым доказано, что данное равенство истинно для любого натурального числа.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 387 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
