Отличие теоремы от правила

В математике кроме теорем используются предложения, называемые правилами и формулами. Выясним, чем они отличаются от теоремы.

Рассмотрим, например, такую теорему из школьного курса алгеб­ры: «если а - любое число и п, k - натуральные числа, то справедливо равенство аⁿ × а^k = a ^{n + k}». Условие данной теоремы - это предложение «а - любое число» и «п, k - натуральные числа». Заключение – это равенство аⁿ× а^k = a ^{n + k}, справедливость которого надо доказать, исхо­дя из данного условия.

Для того чтобы этой теоремой было удобнее пользоваться на практике, при выполнении различных преобразований ее формулируют в виде правила: «при умножении степеней с одинаковыми основаниями показатели складываются» или записывают только формулу аⁿ× а^k = a ^{n + k}, опуская все условия, указанные в теореме. Такие упро­щения позволяют быстрее запоминать правила и формулы. Эту особен­ность математического языка широко используют в начальном курсе обучения математике, но при этом формулируют различные утвержде­ния сразу в виде правил или формул, опуская точные формулировки теорем (и, следовательно, опуская, по сути дела, условие теоремы). Но учитель, конечно, должен уметь разворачивать изучаемые в начальной школе правила (формулы) и формулировать соответствующие им теоремы. Иначе возможны ошибки как содержательного, так и логического характера. Рассмотрим, например, изучаемое в начальном курсе ма­тематики правило деления суммы на число: «для того чтобы разделить сумму на число, можно разделить на это число каждое из слагаемых и полученные результаты сложить». К этой словесной формулировке правила иногда добавляют формулу: (а + b): с = a: с + b: с.

Так как этот материал изучают в начальной школе, то надо отчет­ливо понимать, что числа а, b и с могут быть только целыми неотри­цательными, причем с ¹ 0. Кроме того, воспользоваться правой ча­стью этого равенства можно при условии, что а кратно с и b кратно с.

Таким образом, теорема, лежащая в основе правила деления суммы на число, может быть сформулирована следующим образом: «Если а и с - целые неотрицательные числа (с¹ 0) и а кратно с, и b кратно с, то разделить сумму а + b на число с можно, разделив на это число каждое из слагаемых».

Если воспользоваться символами, то условие и заключение этой теоремы можно записать так:

условие: а, b, с Î Z₀, с ¹ 0; а M с, bM с

заключение: (а + b): с = а: с + b: с.

Замечание. Для всякой теоремы вида «если А, то В» можно сформулировать предложение «если В, то А», которое называют обратным данному.