Пороговая логика

В 1943 году Уоррен Мак-Каллок и Уолтер Питтс предложили формальную модель нейрона (нервной клетки мозга) как переключающей функции {0,1}ⁿ {0,1} в виде логической схемы, имеющей конечное число двоичных входов и один двоичный выход. Каждый вход X1 учитывается в нейроне с некоторым приписанным ему весом W1. Нейрон возбуждается, если суммарное взвешенное возбуждение его выходов не меньше некоторого порога срабатывания Ө. иными словами выход нейрона равен 1, если ∑1 W1 *X1 ≥ Ө.

С изменением порога и весов входов логические функции, реализуемые этим нейроном, изменяются. Рассмотрим формальный нейрон с двумя входами {x1, x2}, изображенный на рис. 7.1. суммарное возбуждение ∑ для этой схемы рассчитывается так: ∑=w1*x1+w2*x2. Пусть w1=w2=1; тогда ∑=x1+x2. Если Ө=1, эта схема реализует дизъюнкцию x1^x2; при Ө=2 она реализует конъюнкцию x1&x2.

Поставим обратную задачу: для заданного нейрона найти такие веса входов и порог его срабатывания, что этот нейрон реализует заданную двоичную функцию, например конъюнкцию &. Очевидно, что для решения задачи для конкретного нейрона рис.1.14 нужно просто решить систему 4-х неравенств:

Для набора < 0,0 >,∑= w1*x1+w2*x2=0 < Ө (поскольку 0&0=0);

Для набора < 0,1 >, ∑=w1*x1+w2*x2=w2 < Ө (поскольку 0&1=0);

Для набора < 1,0 >, ∑=w1*x1+w2*x2=w1 < Ө (поскольку 1&0=0);

Для набора < 0,0 >, ∑=w1*x1+w2*x2=w1+w2 ≥ Ө (поскольку 1&1=1).

Х1

w1

X2 w y

Рис.7.1 пример формального нейрона

Очевидно, что этой системе неравенств удовлетворяет решение Ө=2,w1=w2=1.

Покажем, что в пороговой логике не существует элемента с двумя входами, реализующего функцию сложения по модулю2. Действительно,

0 < Ө (поскольку 0 + 0 =0);

w2 ≥ Ө (поскольку 0 + 1 =1);

w1 ≥ Ө (поскольку 1+ 0 =1);

w1+w2 < Ө (поскольку 1+ 1 =0).

Из второго и третьего неравенства имеем w1+w2 ≥ Ө + Ө и, учитывая последнее неравенство, Ө >w1+w2 ≥ Ө + Ө. это однако, противоречит первому неравенству Ө>0.

7.4 Вопросы для самопроверки

1 Дать классификацию неклассических логик

2 Что называется нечетким множеством

3 что называется нечетким высказыванием

4 Определить степень истинности отрицания нечеткого высказывания

5 Определить степень истинности конъюнкции нечетких высказываний

6 Определить степень истинности дизъюнкции нечетких высказываний

7 Дать формулу для определения степени истинности импликации нечетких высказываний