Нечетная логика

Основоположник теории расплывчатых множеств и систем Л.А.Заде [7] впервые ввел понятие «нечеткое множество» использовал термин «функция принадлежности» и показал что обычные количественные или точные методы анализа хорошо разработанные для механических систем, не пригодны для исследования систем, степень сложности которых сравнима с гуманистическими, так как чем сложнее система, тем менее мы способны дать точные суждения о ее поведении. Основополагающим принципом нечеткой математики является так называемый принцип несовместимости: «высокая точность несовместима с большой сложностью системы».

Жертвуя точностью перед сложностью, вводят так называемые лингвистические переменные, т.е переменные, значениями которых являются не числа, а слова или предложения на естественном языке.

Подход с позиции теории нечетких множеств опирается на предпосылку о том, что элементами мышления человека являются не числа, а словесные описания, т.е элементы расплывчатых множеств или классов, для которых переход от «принадлежности» классу или «непринадлежности» не скачкообразен, а непрерывен. В дополнение к количественным характеристикам объектов использование словесных описаний позволяет анализировать достаточно сложные системы, недоступные формальному математическому анализу.

Основные определения теории нечетких множеств

Нечетким множеством Ă на универсальном множестве U называется совокупность пар (µа (u), u), где µа (u) – степень принадлежности элемента u принадлежит U к нечеткому множеству Ă.

Степень принадлежности – число из диапазона [0,1]. Чем выше степень принадлежности, тем больше в мере элемент универсального множества соответствует свойствам нечеткого множества.

Функцией принадлежности называется функция, которая позволяет вычислить степень принадлежности произвольного элемента универсального множества к нечеткому множеству.

Если универсальное множество состоит из конечного количества элементов U= { u1,u2,….,uk}, то нечетное множество Ă записывается в виде

k

Ă=∑ µ, (µi)/ µi.

i=1

В случае непрерывного множества U используют обозначение

Ă=∫µ, (µ)/ µ.

i

Здесь знаки ∑ и ∫ означают совокупность пар µа (u) и u.

Лингвистической переменной называется переменная значениями которой могут быть слова или словосочетания некоторого естественного или искусственного языка.

Терм-множеством называется множество всех возможных значений лингвистической переменной.

Термом называется любой элемент терм-множества. В теории нечетких множеств терм формализуется нечетким множеством с помощью функции принадлежности.

Дефаззификацией называется процедура преобразования нечеткого множества в четкое число. В теории нечетких множеств процедура дефаззификации аналогична нахождению характеристик положения (математического ожидания. моды. медианы) случайных величин в теории вероятности. Простейшим способом выполнения процедуры дефаззификации является выбор четкого числа, соответствующего максимуму функции принадлежности. Однако пригодность этого способа ограничивается лишь одноэкстремальными функциями принадлежности. Для многоэкстремальными функций принадлежности наиболее часто используется дефаззификация путем нахождения центра тяжести плоской фигуры ограниченной осями координат и функцией принадлежности.

Основные понятия нечеткой логики

Будем обозначать фигурными скобками {} множества, а квадратные []и круглые () используем для обозначения замкнутого и открытого интервала действительных чисел.

Пусть Х – произвольное непутное множество. Множество

Называется нечетким множеством в множестве Х, если каждый элемент множества есть пара, на первом месте которой стоит значение функции m. Х->[0,1], называемой функцией принадлежности элементов из Х множеству , а на втором – элемент для которого определена эта функция. Другими словами, при задании множеству каждому приписывается число ,определяющее степень принадлежности этого элемента множеству . Примем, что в множество не включаются элементы , для которых .

Здесь и в дальнейшем, если это не вызывает недоразумений, знак ~ над нечетким множеством в записи функции принадлежности будем опускать.

Носителем нечеткого множества называется подмножество Х, для которых значение функции принадлежности больше нуля. Очевидно, что само множество Х можно формально рассматривать как расплывчатое в себе, если каждому приписать

Нечеткое множество в Х называется пустым , если для всех величина . Ясно, что носитель пустого расплывчатого множества также пустое множество.

Примеры: Пусть . Множества и , являются нечеткими в множестве Х. Носителем множества служит множество , а носителем множества является .Отметим, что множество В фактически четкое в Х, так как значения функции принадлежности для всех элементов этого носителя равны единице. Исходя из этого, любое четкое подмножество множества Х может быть рассмотрено как нечеткое множество частного вида.

Нечетким высказыванием называется предложение, степень истинности или ложности которого принимает значения из интервала [0,1], причем 0 и 1 являются предельными значениями степени истинности и совпадают с понятиями истины и лжи для нерасплывчатых высказываний.

Нечеткое высказывание, имеющее значение степени истинности, равное 0.5, назовем индифферентностью, так как оно истинно в той же мере, как ложно.

Поскольку в нечеткой логике степень истинности каждого высказывания рассматривается безотносительно к его смыс­лу, то нечеткое высказывание и его степень истинности будем обозначать одной и той же прописной буквой с тильдой.

Простые высказывания, связанные логическими опера­циями образую, сложное высказывание.

Степень истинности отрицания нечеткого высказывания определяется выражением (7.1)

Отсюда ясно, что степень истинности совпадает со сте­пенью истинности

Степень истинности конъюнкции высказываний:

(7.2)

Степень истинности высказывания совпадает со степе­нью истинности наименее истинного высказывания.

Степень истинности дизъюнкции высказываний:

(7.3)

Степень истинности высказывания совпадает со степе­нью истинности более истинного высказывания.

Степень истинности импликации высказываний:

(7.4)

Из (7.4) следует, что степень истинности импликации не меньше степени истинности ее посылки или степени истин­ности ее следствия. Кроме того степень истинности имплика­ции тем выше, чем меньше степень истинности посылки или выше степень истинности следствия.

Степень истинности эквивалентности высказываний:

(7.5)

Отсюда следует, что степень истинности эквивалентности расплывчатых высказываний совпадает со степенью истин­ности менее истинной из импликаций и . Если сте­пени истинности расплывчатых высказываний и одина­ковы, то степень истинности высказывания лежит в ин­тервале [0.5, 1] и имеет значение и 0.5 при = =0.5 и значение 1 при = =1 или = = 0. При разных значениях степеней истинности высказываний и степень истинности высказывания может принимать значения от 0 до 1. причем значение 0 при =0, =1 или = 1 =0.

Два высказывания называются расплывчато близкими, ес­ли степень истинности высказывания больше или равна 0.5. В случае равенства 0.5 их называют расплывчато взаимно индифферентными.

Выражения (7.1) – (7.5) в случаях, когда степень истин­ности высказываний принимает только два значении 0 или 1 определяют соответствующие логические операции над чет­кими высказываниями.

7.3 Модальная и пороговая логика

Название модальная логика связано с тем, что в модальные логические системы входят такие операторы над логическими формулами, которые позволяют модифицировать их интерпретацию. Например, в фразах "возможно, что А", "Миша думает, что А", " в будущем возможно правда, что А" и т.д, предшествующие логической формуле А выражения являются модальными операторами. Они могут относиться к какой угодно формуле А. Значение истинности этих высказываний зависит не только от истинности формулы А, но и от момента, когда провозглашается модальная формула (временны с логики), от человека, который верит, что А (логика веры), или от необходимого, возможного или случайного характера некоторого факта (логика возможного).

Суждения, образованные из других суждений, в которых описываемые в них положения характеризуются как необходимые, возможные, случайные, называются алетическими модальными суждениями. Понятия "необходимо", "случайно", "возможно" называются алетическими модальными понятиями, или модальностями.

В отличие от языка классической логики высказываний в языке модальной логики используются дополнительные символы ◊, ∆. Они называются соответственно модальными операторами общности, существования, случайности.

· Синтаксические правила логики высказываний являются также синтаксическими правилами модальной логики.

· Если А – формула, то □А, ◊А, ∆А – формулы.

Дадим словесную трактовку модальным операторам:

· □А – необходимо; □А истинно тогда и только тогда, когда А необходимо истинно, или Абсолютно истинно, или предполагается, что А истинно, или А истинно во всех возможных мирах;

· ◊А – возможно; ◊А истинно, если А может оказаться истинным, или А условно истинно, или разрешается, чтобы было истинным, или противоположное к А неизвестно, или если А истинно в некотором возможном мире.