 |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
Бірінші ретті сызықты дифференцалдық теңдеулер.Мысалдар
|
|
№35. Екі айнымалы функциялар.Негізгі түсініктер.Деңгей сызығы. Екі айнымалыдан тәуелді функцияны z= 
деп белгілейміз. Бұл функцияның анықталу облысы хОу жазықтығында анықталады. Екі айнымалыдан тәуелді функция графигі үш өлшемді кеңістіктегі (х, у, z) нүктелердің геометриялық орнымен анықталатын қандай да бір бет болады. Мұнда х – абсцисса, у – ордината, z – апликата, және олар арасында z = f(x, y) функциялық байланыс бар. Осы бетті z = С жазықтығымен қиғанда пайда болатын сызық z= f(x, y) функциясының деңгейлік сызығы деп аталады: f(x, y) = С. Көп жағдайда функция графигін қарастырғаннан гөрі оның деңгейлік сызығын зерттеу оңай болады. z= f(x, y) функциясына бір айнымалыдан тәуелді екі функция сәйкес қоюға болады: х аргументті тұрақты деп (x=x0) қарастырғанда z= f(x0 , y) функциясын және у аргументті тұрақты деп (у=у0) қарастырғанда z= f(x, y0) функциясын.
№36. Дербес туындылар. Толық туынды ж\е Толық дифференциал. Z= f(x, y) функциясының дербес өсімшелерінің сәйкес аргумент өсімшесіне қатынасының аргумент өсімшесі нолге ұмтылған жағдайдағы шегі функцияның дербес туындысы дейді, былай жазылады: 
Бұл анықтамадан 
z туындыны табу үшін у айнымалыны тұрақты деп, ал 
z туындыны табу үшін х айнымалыны тұрақты деп қарастыру керек. Және де бір айнымалы функция дифференциалынан белгілі дифференциалдаудың барлық ережелері сақталады. z= f(x, y) функцияның толық дифференциалы деп осы функцияның дербес туындыларының сәйкес аргумент өсімшелеріне көбейтіндісінің қосындысын айт: 
Егер f(x,y) = x, g(x,y) = y функциялары үшін қатынас бойынша толық дифференциалдарын тапсақ, df = dx= 
x, dg = dy= y болатындығы шығады. Олай болса функцияның толық дифференциалын мына түрде жазуға болады: 
.
№37. Екі айнымалы функцияның экстремумы. Қажетті ж\е жеткілікті шарттар. М(х0,у0) нүктенің жақын маңайында жатқан барлық (х, у) нүктелер үшін f(х0,у0) 
f(x,y) теңсіздігі орындалса, М(х0,у0) функцияның максимум нүктесі деп, ал f(х0,у0) 
f(x,y) теңсіздігі орындалса, М(х0,у0) функцияның минимум нүктесі деп аталады. Функция максимумы мен минимумы функция экстремумы деп аталады. Экстремумның қажетті шарты. М(х0,у0) нүктесі z= f(x, y) функциясының экстремум нүктесі болса, онда бұл нүктедегі функцияның дербес туындылары нолге тең, 
, 
. Экстремумның жеткілікті шарты. z= f(x, y) функциясы: 1) дербес туындылары нолге тең болатын 
, 
, М(х0,у0) нүктесінің маңайында анықталған болсын; 2) функцияның осы нүктеде екінші ретті үзіліссіз туындылары бар, 
, 
, 
. Онда, егер 
болса М(х0,у0) нүктеде экстремум бар, және егер A<0 – максимум, A>0 – минимум; ал 
болса М(х0,у0) нүктеде экстремум жоқ; 
болса М(х0,у0) нүктеде экстремумның бар жоқтығы белгісіз.
№38.Ықтималдықтың классикалық ж\е статистикалық анықтамасы. Тәжірибедегі ізделінді оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар санының, барлық элементар оқиғалар санына қатынасы оқиға ықтималдығы деп аталады және Р әрпімен белгілейді:
мұндағы А – ізделінді оқиға, т - осы оқиғаның пайда болуына қолайлы жағдайлар саны, п - элементар оқиғалар саны. Осы анықтаманы ықтималдықтың классикалық анықтамасы деп атайды.
Статистикалық тұрақтылық пайда болған кездегі салыстырмалы жиілік оқиға ықтималдығы деп қабылданады 
. Бұл анықтаманы ықтималдықтың статистикалық анықтамасы деп атайды.
№39.Ықтималдықтардың қосу ж\е көбейу теоремалары. Үйлесімсіз екі оқиға қосындысының ықтималдығы осы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысына тең болады: 
. Бұл теорема оқиғалар саны екіден көп болғанда да дұрыс болады: егер А1, А2,..., Аn оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз болса, онда 
Егер А1, А2,..., Аn оқиғалар қос-қостан үйлесімсіз және оқиғалардың толық тобын құраса, онда 
. Тәжірибе нәтижесінде мүмкін болатын екі оқиғаның бірінің пайда болуы екіншісін болдырмаса, ол оқиғалар қарама-қарсы оқиғалар деп аталады А оқиғасына қарама-қарсы оқиғаны 
деп белгілейді. Қарама қарсы оқиғалардың ықтималдықтарының қосындысы бірге тең:
. Екі оқиғаның бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болу ықтималдығын өзгертпесе олар тәуелсiз деп аталады. Ал екі оқиғаның бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болу ықтималдығын өзгертсе, олар тәуелдi деп аталады. Тәуелсіз А мен В оқиғаларының көбейтіндісінің ықтималдығы әр оқиға ықтималдықтарының көбейтіндісіне тең: 
Бұл оқиғалар саны екіден көп болғанда да дұрыс болады: егер А1, А2,..., Аn оқиғалар қос-қостан тәуелсіз болса, онда 
.
№40. Шартты ықтималдық.Тәуелді оқиғалар. Шартты ықтималдық. В оқиғасының ықтималдығы А оқиғасының болған болмағанына тәуелді болатын жағдайлар болады.Сондықтан 
деп, шартты ықтималдық, А оқиғасы орындалып кетті деп есептегендегі В оқиғасының ықтималдығын белгілейді. Екі оқиғаның бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болу ықтималдығын өзгертпесе олар тәуелсiз деп аталады. Ал екі оқиғаның бiреуiнiң пайда болуы екiншiсiнiң пайда болу ықтималдығын өзгертсе, олар тәуелдi деп аталады
№41. Толық ықтималдық формуласы. Бейес формуласы. Егер А оқиғасы, зара үйлесімсіз, толық топ құратын оқиғаларының біреуімен бірге пайда болатын болса, А оқиғасының ықтималдығы мына формуламен анықталады.
Мұндағы -шартты ықтималдықтар. Бұл формула толық ықтималдықтың формуласы деп аталады. Сондай-ақ жоғарыдағы шарттар сақталғанда Бейес формуласы орындалады:
Бұл формула гипотезалардың ықтималдығын А оқиғасы пайда болғаннан кейін есептеуге қолданылады.
№42. Тәуелсіз сынақтар үшін Бернулли формуласы.Пуассон формуласы. Тәуелсіз п рет тәжірибе жасадық дейік. Әр жолы ізделінді А оқиғаның пайда болу ықтималдығы тұрақты 
болсын. Онда А оқиғасының пайда болмауы 
болады. Енді осы тәжірибелер нәтижесінде А оқиғасы k рет пайда болу ықтималдығын 
деп белгілейді және ол мынаған тең: 
Осы формуланы Бернулли формуласы деп атайды.
Егер тәжірибелер саны көп болып (п 
), ондағы А оқиғасының пайда болу ықтималдығы (
) аз болса, 
ықтималдықты Пуассон формуласымен есептеу қолайлы: 
мұндағы, 
, және 
деп есептейміз. Пуассон формуласын көбінесе 
деп жазады және ықтималдықтар теориясы оқулықтарында Пуассон функциясының кестесі беріледі.
43. Кездейсоқ шама.Дискретті кездейсоқ шаманың үлестірім заңдылығы. Тәжiрибе нәтижесiнде алдын-ала белгiсiз, бiрақ нақтылы бiр мән ғана қабылдайтын шаманы кездейсоқ шама деймiз. Кездейсоқ шамаларды латын алфабитiнiң үлкен әрiптерiмен (Х, У, Z), ал олардың қабылдайтын мүмкiн мәндерiн кiшi әрiптерiмен (х1, х2,..., хп,у1,у2,..., z1, z2,...) белгiлейдi. Ақырлы немесе ақырсыз саналатын мәндер қабылдайтын кездейсоқ шаманы дискреттi кездейсоқ шама деп атайды. Кездейсоқ шаманың қабылдайтын мәндерi мен олардың сәйкес ықтималдықтарын көрсетiп жазуды дискреттi кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы деп атайды. Дискреттi кездейсоқ шаманың үлестiрiм заңы кездейсоқ шаманы толық сипаттайды. Бұл заңды кесте түрiнде жазып не графиктiк түрде салып көрсетедi. Кесте түрiнде жазып көрсеткенде бiрiншi жолға кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкiн мәндерi жазылады да, екiншi жолда кездейсоқ шаманың сол мәндердi қабылдау ықтималдығы жазылады. Х кездейсоқ шаманың х1 мәндi қабылдау ықтималдығын р1, х2 мәндi қабылдау ықтималдығын р2, т.с.с., хп мәндi қабылдау ықтималдығын рп деп белгiлесек кесте мына түрде жазылàды:
44.Дискретті кездейсоқ шаманың сандық сипаттамалары. Кездейсоқ шама өзiнiң үлестiрiм заңымен толық сипатталады. Бiрақ күнделiктi өмiрде кездейсоқ шаманың барлық мүмкiн мәндерi мен сәйкес ықтималдықтарын толық бiлу мiндеттi емес. Кездейсоқ шама жөнiнде бiлгiмiз келген кейбiр деректердi оның басқа да сипаттамаларына қарап анықтай алады екенбiз. Мұндай сипаттамаларға кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi, дисперсиясы, орта квадраттық ауытқуы және т.б. сандық сипаттамалары жатады. Кездейсоқ шаманың барлық мүмкiн мәндерiн сәйкес ықтималдықтарына көбейтiп қосқаннан шыққан санды кездейсоқ шаманың математикалық үмiтi деп атайды да, М(Х) деп белгiлейдi.Кездейсоқ шаманың математикалық үмiттен ауытқуы квадратының математикалық үмiтiн дисперсия деп атайды да, D(X) деп белгiлейдi: D(Х)=М[{Х-М(Х)}2].
Зіліссіз кездейсоқ шама.Ықтималдықтардың үлесірім заңдылығы ж\е негізгі сандық сипаттамалар. Ақырлы немесе ақырсыз аралықтағы кез келген мәндi қабылдай алатын кездейсоқ шаманы үзiлiссiз кездейсоқ шама деп атайды. Биномдық үлестірім. Егер Х кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері болып, ал осы мәндерді қабылдау ықтималдығы Бернулли формуласымен анықталса онда кездейсоқ шама биномдық үлестірім заңымен берілген деп аталадыПуассон үлестірімі. Егер Х кездейсоқ шаманың қабылдайтын мүмкін мәндері болып, ал осы мәндерді қабылдау ықтималдығы Пуассон формуласымен анықталса онда кездейсоқ шама Пуассон үлестірім заңымен берілген деп аталады.Бірқалыпты үлестірім. Үзіліссіз кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы аралығында тұрақты болып, одан тыс жерде 0-ге тең болса, онда кездейсоқ шама бірқалыпты үлестірілген деп аталады:.Көрсеткішті (экспоненциалды) үлестірім.Егер кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы арқылы берілсе, онда ол көрсеткіштік үлестірім заңымен берілген деп аталады.Қалыпты үлестірім. Егер кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы арқылы берілсе, онда ол қалыпты үлестірім заңымен берілген дейді. 46. Ықтималдықтардың тығыздық функциясы.Қалыпты үлестіру.
Кездейсоқ шаманың үлестірім функциясынан алынған туынды кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы деп аталады және f(x) деп белгіленеді: 
Қалыпты үлестірім. Егер кездейсоқ шаманың үлестірім тығыздығы үлестірім тығыздығын «дифференциалдық функция» деп те атайды. Дифференциалдық функция Х кездейсоқ шаманың мәндері тәжірибені қайталап жасағанда х нақты санының маңайында қаншалықты жиі пайда болатындығын көрсетеді.Дифференциалдық функция белгілі болғанда кездейсоқ шаманың үлестірім функциясын табу қиын емес: 
. 
арқылы берілсе, онда ол қалыпты үлестірім заңымен берілген дейді. Қалыпты үлестірілген кездейсоқ шаманың математикалық үміті 
, дисперсиясы 
тең.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 1133 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!
