Алғашқы функция ж\е анықталмаған интеграл.Анықталмаған интегралдың қасиеттері

f(x) және F(x) функциялары ақырлы немесе ақырсыз Х аралықта анықталған функциялар болсын. Х аралығында дифференциалданатын функциясы теңдігін қанағаттандырса, функциясы f(х) функциясының алғашқы функциясы деп аталады. Егер Х аралығында және Ф(х) функциялары f(х ) функ-ның алғашқы функциясы болса, онда қандай да бір С саны табылып, мына теңдік орындалады: Ф(х)= F(x) + C. Бұл теоремадан егер функциясы f(х ) функ-ныңалғашқы функциясы болса, онда F(x) + C өрнегі f(х) функциясының барлық алғашқы функцияларының жиынын береді. f(х) функциясының алғашқы функ-ның жиыны f(х) функциясының анықталмаған интегралы деп аталады және деп белгіленеді, мұндағы - интеграл белгісі; f(х) – интеграл астындағы функция; f(х)dx - интеграл астындағы өрнек. Сонымен = F(x) + C, мұндағы F(x) – алғашқы функция, C – ерікті тұрақты

Қасиеттер: 1. . 2. . 3. = F(x) + C. 4. Берілген аралықта f(x) және g(x) функцияларының алғашқы функциялары бар болса, онда f(x) + g(x) функциясының да алғашқы функциясы бар болады және .

5. . 6. Егер = F(x) + C болса, онда = F(ax+b) + C. 7. Егер интеграл астындағы функцияның алымы бөлімнің туындысы болса, онда интеграл бөлімнің абсолют шамасының наткрал логарифміне тең, яғни , мұндағы u=u(x).

№27. Айнымалыны алмастыру ж\е бөліктеп интегралдау.Айнымалыны алмастыру әдісі. I= интегралын қарастырайық. Айталық, x=g(t) дифференциалданатын функция болсын. Сонда dx=g’(t)dt және . Бұләдіс айнымалыны ұтымды алмастыруға негізделген. Айнымалыны алмастыру арқылы интегралды бірден немесе бірнеше амалдардан кейін кестелік интегралға келтіріледі. Бөліктеп интегралдау әдісі. Бұл әдіс мынадай қатынасқа негізделген: d(uv) = udv + vdu udv = d(uv) – vdu мұндағы u=f(x) және v=g(x) функциялары туындылары бар функциялар. Теңдіктің екі жағынан да интеграл алсақ, , осыдан .Бұл әдісті қолданғанда u және v функцияларын интеграл интегралға қарағанда оңай алынатындай етіп таңдайды. Мысал: +С = +C. №28. Қарапайым рационал өрнектерді интегралдау. түріндегі өрнекті n– дәрежелі көпмүшелік деп атайды. Мұндағы - нақты сандар (, n >0). Көпмүшеліктердің қатынасы түрінде берілген өрнек рационал өрнек болады. Мысалы , бөлшектер рационал өрнектер. Егер бөлшектің алымындағы көпмүшеліктің дәрежесі бөліміндегі көпмүшелік дәрежесінен кем болса, бөлшек дұрыс деп, ал кем болмаса бөлшек бұрыс деп аталады. Мысалдағы біріншісі бөлшек - дұрыс, ал екіншісі – бұрыс бөлшек. Кез келген бұрыс бөлшекті алымын бөлімге бөлу арқылы дұрыс бөлшекке келтіріп алуға болады. Егер дұрыс рационал бөлшек бөлімі және түріндегі көбейткіштерге жіктелген болса, ондабөлшектімынадай қарапайым бөлшектердің қосындысына жіктеуге болады: , мұндағы, Р(х) – белгілі көпмүшелік, - белгісіз коэффициенттер. Ол коэффициенттерді табу үшін белгісіз коэффициенттер әдісін пайдаланамыз: теңдіктің оң жағын ортақ бөлімге келтіреміз; екі бөлшектің бөлімдері тең болатындықтан, алымдарын теңестіреміз; теңдіктің екі жағындағы х айнымалының бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттерін теңестіру арқылы теңдеулер жүйесін аламыз; осы жүйені шешіп белгісіз коэффициенттерді табамыз. Мысалы бөлшегін қарапайым бөлшектер қосындысына жіктейік.

Бөлшек дұрыс, сондықтан бөлшекті жіктейміз, Белгісіз коэффициенттерді табу үшін теңдіктің оң жағын ортақ бөлімге келтіріп жазайық: Бөлімдері бірдей, алымдарын теңестіреміз (оң жақтағы бөлшек алымын ықшамдап, х-тің дәрежесі түрінде жазайық: Теңдіктің екі жағындағы х айнымалының бірдей дәрежелері алдындағы коэффициенттерін теңестіру арқылы теңдеулер жүйесін аламыз:

Төрт белгісізді, төрт теңдеуден тұрған жүйені шешіп, белгісіз коэффициенттерді табамыз: .Табылған мәндерді теңдіктегі орнына қойып, бөлшектің қарапайым жіктелуін аламыз: .Енді осы рационал бөлшекті интегралдайық. Әр интегралды жеке қарастырайық. 1) , мұнда бөлшектің алымы бөлімінің туындысы болғандықтан 7-қасиетті пайдаландық.2) + С= +C= +C; 3) +4 +С= + +C, мұнда бірінші қосылғышты алымы бөлімінің туындысы болғандай етіп түрлендірдік те 7-қасиетті пайдаландық. Ал екінші қосылғышта бөлімінің толық квадратын бөліп алып, интегралдар кестесіндегі 14-формуланы пайдаландық.Сонымен ln| x+1 |- + +C.

№29. Анықталған интеграл ж\е оның касиеттері. y=f(x) функциясының интегралдық қосындысының жағдайдағы шегі функцияның [a;b] аралығындағы анықталған интегралы деп аталады және деп белгіленеді. Сонымен, мұндағы а және b сандары интегралдың сәйкес төменгі және жоғарғы шектері деп аталады. Анықталған интеграл қасиеттері: 1. Тұрақтыны шек таңбасы алдына шығаруға болады: . 2.Екі функцияның алгебралық қосындысының интегралы сол функциялар интегралдарының алгебралық қосындысына тең болады: . 3.Интеграл шектерінің орындарын ауыстырғанда интеграл таңбасы қарама-қарсыға өзгереді: .4. Интеграл шектері бірдей болғанда интеграл мәні нолге тең: . 5. Егер болса, онда m(b-a)< <M(b-a). 6.Егер с нүктесі [ a;b ] кесіндісінде жатқан нүкте болса, онда . 7. Орта мән туралы теорема. y=f(x) функциясы [ a;b ] кесіндісінде үзіліссіз функция болса, онда қандай да бір с [ a;b ] нүкте табылады да мына теңдік орындалады: (b-a)f(c). 8. Егер y=f(x) функциясы жұп болса, онда

2 . 9. Егер y=f(x) функциясы тақ болса, онда 0. 10. Ньютон-Лейбниц формуласы. F(b) – F(a), мұндағы . 11.Анықталған интегралдағы бөліктеп интегралдау: . 12.Анықталған интегралдағы айнымалыны алмастыру: .

№30. Анықталған интегралдың геометриялық, экономикалық қолданысы. Белгіленуі мен айтылуында ұқсастық болғанымен анықталған және анықталмаған интеграл екеуі түрлі ұғымды береді: - функциялар жиыны болса; -нақтылы сан болады. Егер [ a;b ] кесіндіде f(x)>0 болса, онда анықталған интеграл анықтамасынан оның геометриялық мағнасы шығады: -үстіңгі жағынан y=f(x) қисығымен, бүйір жақтарынан x=a, x=b түзулерімен, астыңғы жағынан y=0 түзуімен шектелген қисық сызықты трапеция ауданы.

№31.Дифференциалдық теңдеулер. Дифференциалдық теңдеу есептері. Дифференциалды теңдеу деп х тәуелсіз айнымалы, у(х) ізделінді функция және оның түрлі ретті туындыларын өз ара байланыстыратын теңдеуді айтамыз. Дифференциалды теңдеу ретi деп теңдеудегі туындының жоғары ретін айтамыз. Мысалы, xy'+y=0, - бірінші ретті дифференциалды теңдеулер; - екінші ретті дифференциалды теңдеу; - үшінші ретті дифференциалды теңдеу. Бірінші ретті дифференциалды теңдеу: . Егер осы теңдеу функция туындысына қатысты шешіліп тұрса, деп жазылады. Дифференциалды теңдеудегі орнына қойғанда оны тепе-теңдікке айналдыратын, дифференциалданатын y=q(x,С) функциясын теңдеудің жалпы шешімі деп айтамыз. Дифференциалды теңдеудің жалпы шешімінен қандай да бір нақты С=С₀ мәнінде алынатын шешім теңдеудің дербес шешімі деп аталады. теңдеудің берілген бастапқы у(х₀)=у₀ шартты қанағаттандыратын шешімін табуды Коши есебі дейді.