Полнота

Теория называется полной, если в ней для любой формулы выводима либо сама , либо ее отрицание . В противном случае, теория содержит недоказуемые утверждения (утверждения, которые нельзя ни доказать, ни опровергнуть средствами самой теории), и называется неполной.

Теорема Гёделя о неполноте

[править]В первоначальной форме

В своей формулировке теоремы о неполноте Гёдель использовал понятие ω-непротиворечивой формальной системы — более сильное условие, чем просто непротиворечивость. Формальная система называется ω-непротиворечивой, если для всякой формулы A (x) этой системы невозможно одновременно вывести формулы А (0), А (1), А (2),... и ∃ x A (x) (другими словами, из того, что для каждого натурального числа n выводима формула A (n), следует невыводимость формулы ∃ x A (x)). Легко показать, что ω-непротиворечивость влечет простую непротиворечивость (то есть, любая ω-непротиворечивая формальная система непротиворечива)^[7].

В процессе доказательства теоремы строится такая формула A арифметической формальной системы S, что^[7]:

Если формальная система S непротиворечива, то формула A невыводима в S; если система S ω-непротиворечива, то формула A невыводима в S. Таким образом, если системаS ω-непротиворечива, то она неполна^{[~ 2]} и A служит примером неразрешимой формулы.

Формулу A иногда называют гёделевой неразрешимой формулой ^[8].

[править]Интерпретация неразрешимой формулы

В стандартной интерпретации^{[~ 3]} формула A означает «не существует вывода формулы A», то есть утверждает свою собственную невыводимость в S. Следовательно, по теореме Гёделя, если только система S непротиворечива, то эта формула и в самом деле невыводима в S и потому истинна в стандартной интерпретации. Таким образом, для натуральных чисел формула A верна, но в S невыводима

17 вопрос машина тьюринга. тезис тьюринга. модификации мт.

Маши́на Тью́ринга (МТ) — абстрактный исполнитель (абстрактная вычислительная машина). Была предложена Аланом Тьюрингом в 1936 году для формализации понятия алгоритма.

Машина Тьюринга является расширением конечного автомата и, согласно тезису Чёрча — Тьюринга, способна имитировать все другие исполнители (с помощью задания правил перехода), каким-либо образом реализующие процесс пошагового вычисления, в котором каждый шаг вычисления достаточно элементарен.

В состав машины Тьюринга входит бесконечная в обе стороны лента (возможны машины Тьюринга, которые имеют несколько бесконечных лент), разделённая на ячейки, и управляющее устройство, способное находиться в одном из множества состояний. Число возможных состояний управляющего устройства конечно и точно задано.

В терминах вычислимости по Тьюрингу, тезис гласит, что для любой интуитивно вычислимой функции существует вычисляющая её значения машина Тьюринга. Иногда в такой формулировке фигурирует как тезис Тьюринга.

Тезис Чёрча — Тьюринга невозможно строго доказать или опровергнуть, поскольку он устанавливает эквивалентность между строго формализованным понятием частично вычислимой функции и неформальным понятием вычислимости.

18 вопрос Оценка сложности алгоритмов. Асимптотическая сложность

Анализ трудоёмкости алгоритмов

Основная статья: Теория сложности вычислений

Целью анализа трудоёмкости алгоритмов является нахождение оптимального алгоритма для решения данной задачи. В качестве критерия оптимальности алгоритма выбирается трудоемкость алгоритма, понимаемая как количество элементарных операций, которые необходимо выполнить для решения задачи с помощью данного алгоритма. Функцией трудоемкости называется отношение, связывающие входные данные алгоритма с количеством элементарных операций.

Трудоёмкость алгоритмов по-разному зависит от входных данных. Для некоторых алгоритмов трудоемкость зависит только от объёма данных, для других алгоритмов — от значений данных, в некоторых случаях порядок поступления данных может влиять на трудоемкость. Трудоёмкость многих алгоритмов может в той или иной мере зависеть от всех перечисленных выше факторов.

Одним из упрощенных видов анализа, используемых на практике, является асимптотический анализ алгоритмов. Целью асимптотического анализа является сравнение затрат времени и других ресурсов различными алгоритмами, предназначенными для решения одной и той же задачи, при больших объёмах входных данных. Используемая в асимптотическом анализе оценка функции трудоёмкости, называемая сложностью алгоритма, позволяет определить, как быстро растет трудоёмкость алгоритма с увеличением объёма данных. В асимптотическом анализе алгоритмов используются обозначения, принятые в математическом асимптотическом анализе. Ниже перечислены основные оценки сложности.

19 вопрос Сложность задач. Классы задач P NP. Примеры NP задач

В рамках классической теории осуществляется классификация задач по классам сложности (P-сложные, NP-сложные, экспоненциально сложные и др.). К классу P относятся задачи, которые могут быть решены за время, полиномиально зависящее от объёма исходных данных, с помощью детерминированной вычислительной машины (например, машины Тьюринга), а к классу NP — задачи, которые могут быть решены за полиномиально выраженное время с помощью недетерминированной вычислительной машины, то есть машины, следующее состояние которой не всегда однозначно определяется предыдущими. Работу такой машины можно представить как разветвляющийся на каждой неоднозначности процесс: задача считается решённой, если хотя бы одна ветвь процесса пришла к ответу. Другое определение класса NP: к классу NP относятся задачи, решение которых с помощью дополнительной информации полиномиальной длины, данной нам свыше, мы можем проверить за полиномиальное время. В частности, к классу NP относятся все задачи, решение которых можно проверить за полиномиальное время. Класс P содержится в классе NP. Классическим примером NP-задачи является задача о коммивояжёре.

Поскольку класс P содержится в классе NP, принадлежность той или иной задачи к классу NP зачастую отражает наше текущее представление о способах решения данной задачи и носит неокончательный характер. В общем случае нет оснований полагать, что для той или иной NP-задачи не может быть найдено P-решение. Вопрос о возможной эквивалентности классов P и NP (то есть о возможности нахождения P-решения для любой NP-задачи) считается многими одним из основных вопросов современной теории сложности алгоритмов. Ответ на этот вопрос не найден до сих пор. Сама постановка вопроса об эквивалентности классов P и NP возможна благодаря введению понятия NP-полных задач. NP-полные задачи составляют подмножество NP-задач и отличаются тем свойством, что все NP-задачи могут быть тем или иным способом сведены к ним. Из этого следует, что если для NP-полной задачи будет найдено P-решение, то P-решение будет найдено для всех задач класса NP. Примером NP-полной задачи является задача о конъюнктивной форме

Поскольку коммивояжер в каждом из городов встает перед выбором следующего города из тех, что он еще не посетил, существует маршрутов для асимметричной и маршрутов для симметричной задачи коммивояжера. Таким образом, размер пространства поиска зависит экспоненциально от количества городов.

Различные варианты задачи коммивояжера (метрическая, симметричная и асимметричная) NP-эквивалентны. Согласно распространенной, но недоказанной гипотезе о неравенстве классов сложности P и NP, не существует детерминированной машины Тьюринга, способной находить решения экземпляров задачи за полиномиальное время в зависимости от количества городов.

Также известно, что при условии не существует алгоритма, который для некоторого полинома вычислял бы такие решения задачи коммивояжера, которые отличались бы от оптимального максимум на коэффициент .

Однако, существуют алгоритмы поиска приближенных решений для метрической задачи за полиномиальное время и нахождения маршрута максимум вдвое длиннее оптимального. До сих пор не известен ни один алгоритм с полиномиальным временем, который бы гарантировал точность, лучшую чем 1,5 от оптимальной. По предположению , существует (неизвестная) константа , такая, что ни один алгоритм с полиномиальным временем не может гарантировать точность . Как было показано Арора, для евклидовой задачи коммивояжёра существует схема поиска приблизительных решений задачи (PTAS).