![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Т. Ролля. Пусть функция f определена на отрезке [а;b] и удовлетворяет трем условиям:
1. функция непрерывна на этом отрезке;
2. функция дифференцирована в интервале (а,b);
3. функция на концах отрезка имеет одинаковые значения f(а)=f(b). Тогда существует т. с на отрезке [а,b] со св-вом f(с)=0.
Теорема Лагранжа. Если функция f задана на [а;b] и удовлетворяет усл. 1 и 2 теоремы Ролля. Тогда существует т. с на (а,b): f(b)-f(a)=f'(с)(b-a).
Док-во: Составим вспомогательную функцию φ(x)=r*x+f(x), где r – постоянная. Эта функция непрерывна на [а;b] как разность непрерывных функций и дифференцируема на (а;b). Подберем коэффициент r так, чтобы выполнялось равенство φ(a)=φ(b), то есть r*a+f(a)=r*b+f(b). Это r=(f(a)-f(b))/(b-a). При таком r функция φ удовлетворяет условиям 1-3 теоремы Ролля. Отсюда по Т.Ролля существует с из (а;b):φ'(с)=0. Вычислим φ’(x): φ’(c)=(r*x+f(x))’|x=c=r+f’(c). Т.о. r+f’(c)=0, а тогда, что равносильно f’(c)= -r доказываемой формуле.
Геометрический смысл Т.Лагранжа:
заметим, что формула Лагранжа равносильна равенству f’(c)=(f(b)-f(a))/(b-a), первая часть которого численно равна
Учитывая геометрический смысл f’(c) выводим, что в условиях Т. Лагранжа на графике функции f найдется точка с координатами (c;f(с)), касательная в которой к графику параллельна хорде [AB]. Т.о. Формула Л. означает, что на кривой АВ существует М, в которой касательная параллельна секущей АВ.
Применение теоремы Лагранжа:
1. Критерий постоянства функции:
пусть функция f задана на [а;b] и выполнены условия 1 и 2 T. Ролля.
Для того, чтобы функция была постоянной на [а;b], необходимо и достаточно, чтобы f(х)=0 для любого х из (а,b).
Док-во: “=>” Для каждого фиксированного х из полуинтервала (a;b] на сегменте [a;x], очевидно, выполнены условия 1-2 Т. Ролля. Следовательно, по Т.Лагранжа на интервале (а;х) найдется точка сх такая, что f(x)-f(a)=f’(cx)*(x-a). Отсюда, ввиду f’(cx)=0, получаем равенство f(x)-f(a)=0, т.е. f(x)=f(a). поскольку аргумент х был произвольным, существование постоянной с установлено. Док-во обратной импликации очевидно.
2. Критерий нестрогой монотонности.
Пусть f задана на [а;b], выполняется 1 и 2 Т. Ролля. Для того, чтобы функция была нестрого возрастающей (убывающей) на [а;b] необходимо и достаточно, чтобы производная f(х)>0(f(х)<0).
3. Достаточное условие строгой монотонности: Пусть функция f удовлетворяет условиям 1 и 2 Т. Ролля. Тогда, если f’(x)>0 для всех х из (a;b), то функция f строго возрастает на [а;b] (убывает).
Док-во: Пусть x1,x2€[a;b] и x1<x2. Т.к. [x1;x2]с[a;b], то функция f непрерывна на [x1;x2] и дифференцируема на (x1;x2). Следовательно, по Т. Лагранжа найдется точка с из (x1;x2), для которой f(x2)-f(x1)=f’(c)*(x2-x1). Отсюда, в силу неравенств x2-x1>0 и f’(c)>0 получаем неравенство f(x2)-f(x1)>0, что равносильно f(x2)>f(x1). Формулировка признаков убывания, а также невозрастания и неубывания аналогичны.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 365 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!