![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Пусть функция f определена на некотором интервале (а;b), включающем в себя т.t, т.е. t -внутренняя точка D(f).
Вычислим f(х).
f(х)=f(t+Δх) от-ся от f(х) на приращенной функции Δу=f(x)-f(t)=f(t+Δх)-f(t), где Δх и Δу- цельные символы.
Опр.1. Производной функции f(х) в т. t наз. предел при х→0 отношения Δх/Δу, если он существует и конечен.
Функция при этом наз. дифференцированной в т.t.
Опр.2. Функция f наз. дифференцированной в т. t, если ее приращение Δу можно представить в виде: Δу=А Δх+α(Δх)* Δх (2), где А- постоянна.
α(Δх)→0 при Δх→0
Теорема 1. Функция f диффер-на в т.t в смысле формулы (2) тогда и только тогда, когда у нее в этой точке существует производная (1), причем А=f ‘(t)
Док-во: 1.(2) =>(1)
Выполнено (2), т.е. существует А-соnst, α(Δх)→0 при Δх→0.
Рассмотрим Δх≠0:t+ Δх€(а;b)
Поделим (2) на Δх. Выразим А: А=Δх/Δу-α(Δх)= f(t)
Число (1)
выполнено (1) Δх/Δу-f ‘(1)=α(Δх), где α(Δх)→0 при Δх→0
Умножим на Δх≠0, получим Δу-f ‘(t)*Δх=α(Δх)*Δх
Перепишем Δу=f(t)*Δх+α(Δх)*Δх
Получим (2), где А= f ‘(t).
По опр.2 функция f диф-ма в т. t.
Опр.З. Дифференциалом независимой переменной наз. произвольное приращение независимой переменной (аргумента) d(х)= Δх
Опр.4. Дифференциалом функции f(х) наз. произведение ее производной на дифференциал аргумента D у = df(x)=f ‘(х)d(х). Дифференциал аргумента совпадает с приращением аргумента, а дифференциал функции в общем случае не совпадает с ее приращением.
Пример: y=x => y’=1 => dy=1*∆x=∆x
Геом.смысл дифференциала функции. Функция предполагается дифференцированной в т. х0 d(x)=Δх=МС Δf(x)=BC f ‘(x)=tg∟BMC
Но df(x)=f(x)∆х=MC*tg∟BMC=BC
Дифференциал функции изображается BC≠AC, изображающий приращение функции, т.е. если ∆f(x) – приращение ординаты кривой y=f(x), то df(x) – это приращение ординаты касательной к кривой в точке A. Это и есть геометрический смысл дифференциала.
Т.к.dy=y’dx, то умножая функции таблицы производных на dx мы получим таблицы дифференциалов.
Т.2. Если функции f и g дифференцированы в точке x0, то в этой точке дифференцированы функции f±g,f·g,f/g при g(x0)≠0, c·f при c –const, причем выполняются равенства:
1.d(f±g)=df±dg;
2. d(f·g)=gdf+fdg;
3. d(f/g)=(gdf-fdg)/g2;
4. d(cf)=cdf, при c-const.
Док-во(3): f дифференцирована в точке х0 => существует f’(x0)
g дифференцирована в точке х0 => существует g’(x0), т.о.существует (f/g)’(x0), g(x0)≠0 (f/g)’=(f’g-fg’)/g2
Теперь xdx
(остальные аналогично).
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 201 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!