Ограничение

5. Формулы однозначно получаются с помощью правил, описанных в базисе и индукционном шаге. Никаких других формул нет.

Формулы, определенные в п.1 и п.2, называются элементарными (или атомарными). Формулы, не являющиеся элементарными, называются составными.

Заметим, что по определению формулы никакая переменная не может быть одновременно свободной и связанной.

Например, , , — элементарные формулы, а , , ‑ составные формулы. При этом в первой составной формуле предметная переменная у связана, а переменные х, z ‑ свободные. Во второй составной формуле свободна лишь переменная z, остальные ‑ связаны. В третьей составной формуле первое вхождение переменной х связано, а второе ‑ свободно. Переменная у связана. Последнюю формулу более целесообразно было бы записать в следующем виде (заменив связанную переменную х какой-нибудь буквой, не входящей в данную формулу): .

В формулах вида , формула называется областью действия квантора или соответственно. Тогда ясно, что вхождение предметной переменной в формулу будет связанным, если эта переменная находится в области действия квантора по этой переменной.

Формулы, в которых нет свободных предметных переменных, называются замкнутыми, а формулы, содержащие свободные предметные переменные, — открытыми.

Примеры замкнутых формул: Р, , .

Правила записи сложных формул.

Пример 1. Дано «некоторые действительные числа являются рациональными».

В этом суждении имеется два предиката и . Формула этого рассуждения есть

Пример 2. «Некоторые социал-демократы уважают всех демократов. Ни один социал-демократ не уважает ни одного коммуниста. Следовательно, ни один демократ не является коммунистом».

В этом суждении три одноместных предиката , , и один двухместный предикат .

Формула сложного суждения имеет вид:

Пример 2. «Ни один торговец наркотиками не является наркоманом. Некоторые наркоманы привлекались к ответственности. Следовательно, некоторые люди, привлекавшиеся к ответственности, не являются торговцами наркотиков».

В этом суждении три предиката , ,

Формула этого суждения имеет вид:

Примеры позволяют сформулировать некоторые правила записи сложных формул:

1) каждое вхождение логической связки «» относится к формуле, следующей непосредственно за логической связкой справа;

2) каждое вхождение логических связок «» или «» после расстановки скобок связывает формулы, непосредственно окружающие логическую связку;

3) логические связки по силе упорядочены так: ;

4) за квантором общности чаще всего следует импликация, а за квантором существования конъюнкция;

5) если формула содержит подформулу, то последняя не должна содержать кванторов, связывающих ту же переменную, что и квантор формулы;

6) значения всех предметных переменных и постоянных должны принадлежать одной области определения предиката или функции;

7) если в одной формуле есть кванторы общности и существования, то при формализации суждений следует стремиться поставить квантор существования слева от всей формулы.