Формулы логики предикатов

Термы

Между предметами области определения предиката могут быть заданы отношения. На это указывает функциональный символ , где ‑ номер функции, ‑ число аргументов.

Например, если предметной областью предиката является множество натуральных чисел, то в качестве предметов рассматриваются не только числа в чистом виде ‑ константы 5, 8, 12 и т.д., но и их комбинации, полученные при помощи арифметических операций, т.е. выражения вида . Объекты типа не являются высказываниями, так как о них нельзя сказать истинны они или ложны. Они являются некоторыми переменными числами множества . Таким образом, в логику предикатов вводится понятие терма. На самом деле, терм ‑ это функция над предметами, значениями которой тоже являются предметы.

Термы позволяют строить выражения типа , где знак «» ‑ это предикат, а функции и ‑ термы.

Формулы логики предикатов

Наша задача состоит в том, чтобы определить понятие формулы в логике предикатов, а затем на его основе продемонстрировать, насколько тоньше и точнее язык и логика предикатов отражают процессы человеческого мышления, нежели это делают язык и логика высказываний.

Понятие формулы логики предикатов вводится аналогично понятию формулы алгебры высказываний. Сначала задается алфавит символов, из которых будут составляться формулы:

‑ предметные переменные: , , …, , …;

‑ предметные постоянные: , , …, , …;

‑ функциональные символы: ,

где ‑ номер функции, ‑ число аргументов.

‑ нульместные предикатные переменные (высказывания): , , …, , …;

‑ предикатные символы: , …, , …, где ‑ номер предиката, ‑ число аргументов.

‑ символы логических операций: , , , , ;

‑ кванторы: , ;

‑ вспомогательные символы: (, ) — скобки.

Определим понятие терма.

Определение (терма).

1. Базис. Предметные переменные и константы ‑ термы. Их обозначают символом .

2. Индукционный шаг. Если есть функциональный символ и термы , которые не обязаны быть разными, то подстановка термов в функциональный символ также есть терм.

3. Ограничение. Термы однозначно получаются с помощью правил, описанных в базисе и индукционном шаге. Никаких других термов нет.

Теперь дадим определение формулы логики предикатов, которое также носит индуктивный характер. При этом обратим внимание на то, что через всё определение формул необходимо провести определение свободных и связных переменных.

Определение (формулы логики предикатов).

Базис.

1. Каждая нульместная предикатная переменная есть формула;

2. Если есть предикатный символ и термы , то подстановка этих термов в предикатный символ дает формулу, в которой все вхождения предметных переменных свободные (так как термы кванторов не содержат).

Индукционный шаг.

3. Если и ‑ формулы, то , , , , , ‑ формулы. При этом все свободные и связные предметные переменные формул и останутся соответственно свободными и связными предметными переменными новых формул (так как новых кванторов нет).

4. Если ‑ формула и х ‑ предметная переменная, входящая в свободно, то выражения , также являются формулами, в которых переменная х связанная, а все остальные предметные переменные, входящие в формулу , свободно или связанно, остаются и в новых формулах соответственно такими же.