![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Проверка гипотез наиболее часто встречающаяся задача при обработке экспериментальных данных. Предполагается, что имеются результаты наблюдений из выборочного пространства
над источником информации
, которым соответствует некоторая функция распределения
.
Тип источника информации может быть различным:
- источник с дискретными состояниями ,
- источник с непрерывными состояниями , где
- границы непрерывного множества.
Априорную информацию о типе источника считаем известной, но параметры, описывающие состояние источника – неизвестны. Эти параметры влияют на закон распределения выборочных значений . Поэтому будем считать, что вид распределения и его параметры неизвестны наблюдателю. В общем случае может быть выдвинута гипотеза о виде распределения
или о его параметрах, (математическое ожидание, дисперсия, корреляционный момент, интервал стационарности и т.д.). Гипотезы о величине параметров будем называть параметрическими гипотезами. В то же время необходимо проверять гипотезы о типе распределения или о том, что две выборки
и
относятся к одному и тому же распределению. Такие гипотезы будем называть непараметрическими гипотезами.
Рассмотрим двухальтернативные гипотезы и
о состоянии источника:
:
,
:
, таких, что
. Возможно два решения:
- не отклонять гипотезу
,
- отклонить гипотезу
.
Разделим выборочное пространство на две части
и
таких, что
Ø.
Выдвинем гипотезу о том, что выборка
принадлежит выборочному пространству
, описываемому функцией распределения
. В зависимости от проверяемой гипотезы (мат. ожидание и т.д.) рассматриваются различные свойства выборочного пространства
.
Гипотеза не отвергается, если выборка
принадлежит пространству
и отвергается, если выборка
принадлежит пространству
, т.е. принимается альтернативная гипотеза
.
Подмножество выборок, составляющих выборочное подпространство , называется критической областью критерия, а условная вероятность
(2.1)
называется уровнем значимости или уровнем критерия.
Уровень значимости предполагает отклонение гипотезы
, в то время как она верна, в
случаев статистической проверки гипотезы
.
Условная вероятность того, что выборка принадлежит подпространству
при состоянии источника
:
, (2.2)
называется мощностью критерия.
Мощность критерия предполагает принятие гипотезы
, в то время как источник находится в состоянии
, в
случаев статистической проверки гипотезы
.
Положим, происходит проверка гипотезы о параметрах распределения и пусть распределение содержит M параметров. Если проверяется гипотеза о K параметрах распределения и K=M, то гипотеза называется простой, если K<M, гипотеза называется сложной.
Например, нормальный закон описывается двумя параметрами (математическим ожиданием и дисперсией
). Если проверяется гипотеза
:
и
, то гипотеза
- простая. Если проверяется гипотеза
:
, и
, то гипотеза
- сложная.
Критерий проверки гипотезы :
против сложной альтернативной гипотезы
:
, называется несмещенным, если мощность критерия удовлетворяет условию [17, стр. 174]
.
В этом случае область называется несмещенной критической областью.
Критерий проверки простой гипотезы против альтернативной гипотезы
о состоянии источника называется состоятельным, если
.
Эти соотношения говорят о том, что при возрастании числа наблюдений разумно отклонить ложную гипотезу.
Положим, происходит проверка простой гипотезы против сложной гипотезы
. Согласно гипотезе
параметр распределения может принимать значения из некоторого множества. Для каждого значения параметра согласно гипотезе
(т.е. для заданного значения
) можно найти критические множества
. Если существует такое критическое множество среди всех возможных, что мощность критерия будет наибольшей, то такое множество называется равномерно наиболее мощным, а критерий, по которому происходит проверка, называется равномерно наиболее мощным критерием (РНМ критерий).
Например, теорема Неймана-Пирсона позволяет найти РНМ множество и построить РНМ критерий.
РНМ критерий существует для проверки простой гипотезы (
) против сложной альтернативной гипотезы
(
). Но, если альтернативной гипотезой
является
, то РНМ критерия не существует, т.к. должны существовать два подмножества
и
, соответствующие
и
, для которых имеется одна и та же мощность
. Это может быть только тогда, когда (если используется критерий отношения правдоподобия, [3, стр 235]):
,
где - функция правдоподобия.
Если измерения независимы,
.
Значимость критерия равна ,
мощность критерия равна .
- граница критической области с уровнем значимости
.
Положим, выдвигается гипотеза или о типе распределения измеряемого параметра, или о величине измеряемого параметра. Мерой соответствия выдвигаемой гипотезы реальному состоянию исследуемой проблемы является вероятность отклонения статистической гипотезы
в то время как она верна.
Пусть произведена выборка из генеральной совокупности
, характеризуемой параметром
. Экспериментатору неизвестно значение параметра
. Для того, чтобы выяснить значение параметра
вычисляется оценка
, как некоторая функция от выборки.
Рассмотрим задачу проверки гипотезы о том, что оценка
принадлежит генеральной совокупности
. Альтернативной гипотезой
будет утверждение: оценка
не принадлежит генеральной совокупности. Гипотеза
отвергается, если абсолютное уклонение оценки
от истинного значения
превышает некоторую величину
. Вероятностной мерой расхождения оценки
от параметра
является условная вероятность отклонения
от
при верности гипотезы
:
, (2.3)
где - уровень значимости ошибки при принятии решения,
- критическое значение - постоянная, зависящая от уровня значимости
и распределения оценки
.
Уровень значимости показывает степень доверия к принятому решению. Если гипотеза
верна, то согласно (2.3) возможно её отклонить, (выполнится неравенство
), в
случаях проверки гипотезы в серии из 100 проверок гипотезы
. При верности гипотезы
в большой серии испытаний выполнение неравенства
невозможно объяснить только лишь случайностью, т.к. вероятность
довольно малая величина. Все точки, удовлетворяющие неравенству
, образуют критическое множество.
Выражение (2.3) можно представит как
+
или
, (2.4)
где - является квантилем распределения вероятности
:
(2.5)
На рисунке 2.1 затененные области соответствуют вероятности ошибки, равной , а области значений статистики
,
являются критическими областями.
Ввиду того, что имеются две критические области и
, подобную процедуру проверки гипотезы
против альтернативной гипотезы
называют двусторонней, а гипотезу
называют двусторонней гипотезой [7].
В то же время, если выполняется неравенство при верности гипотезы
, гипотеза
принимается с вероятностью
, (2.6)
где мощность критерия.
На практике встречаются случаи, когда проверяется гипотеза : или
, или
. Эта процедура проверки гипотезы
называется односторонней, а сама гипотеза
- односторонней гипотезой. Критическая область будет состоять из множества точек
при проверке гипотезы
:
, или множества
при проверке гипотезы:
. На рисунке 2.2 приведен пример, иллюстрирующий критическую область
и вероятность ошибки
при проверке гипотезы
:
.
Пример проверки сложных гипотез. Пусть наблюдаемая величина подчиняется нормальному закону:
.
Проверяются гипотезы и
:
:
,
- неизвестно,
:
,
- неизвестно.
Произведем оценки математического ожидания и дисперсии
,
. (2.7)
Необходимо построить критическую область по заданному . Построим функции правдоподобия при верности гипотез
и
.
Если неизвестны значения параметров распределения, то в функции правдоподобия подставляются те значения параметров, которые обеспечивают наибольшие значения функций правдоподобия.
Используем это утверждение для построения отношения правдоподобия. Введём и вычислим функцию правдоподобия при истинности гипотезы
:
:
.
При верности гипотезы , (
), оценкой дисперсии служит величина
.
Подставим в выражение
, и учитывая, что
, получим
.
Вычислим функцию правдоподобия при истинности гипотезы . Ввиду того, что проверяется гипотеза
, (
), при альтернативной гипотезе
, (
), то в качестве произвольного
для альтернативной гипотезы
в качестве математического ожидания можно взять оценку
.
:
.
Тогда отношение правдоподобия примет вид
. (2.8)
Рассмотрим случайную величину
. (2.9)
Числитель этого выражения распределен по нормальному закону с математическим ожиданием, равным нулю, и дисперсией, равной 1.
Рассмотрим знаменатель выражения (2.9). Подставим вместо его значение
. Величина
распределена как
. Пользуясь определением случайной величины
из таблицы 1.1, законом распределения Стьюдента (1.13) и учитывая линейную связь
, определим, что случайная величина
распределена по закону Стьюдента с
степенью свободы:
. (2.10)
Используя (2.8) и(2.9), запишем отношение правдоподобия в виде
(2.11)
и критическую область определим как
.
Распределение Стьюдента симметрично и для этого распределения существуют таблицы. Математическое ожидание и дисперсия величины равны соответственно
, т.е. не зависят от параметров нормального распределения. Преобразуя выражение (2.12), получим
. (2.13)
График функции
изображен на рисунке 2.3. Области
и
, (выделены жирными линиями), удовлетворяющие неравенству (2.13), образуют критические области, где
и
- квантили распределения Стьюдента с
степенью свободы.
Для уровня значимости значение
можно найти из решения уравнения
,
где - плотность распределения Стьюдента с
степенью свободы. Ввиду симметричности плотности распределения Стьюдента имеем
. Процедура проверки гипотезы
сводится к проверке неравенства
.
При выполнении этого неравенства гипотеза не отвергается. В противном случае гипотеза
отвергается. Ошибка отвергнуть гипотезу
в то время как она верна, возможна в
случаях из 100 испытаний.
Значение порога определяется как
.
Критерий отношения правдоподобия применяется тогда, когда нет дополнительной априорной информации о состоянии источника. Но нельзя забывать, что этот критерий может привести к ошибочным выводам, что показано в следующем примере.
Пример,[3, стр. 330]. Случайная величина принимает значения
с вероятностями
,
, указанными в таблице 2.1.
таких, что .
- известная константа,
и
- должны удовлетворять условиям:
,
. (2.14)
Таблица 2.1
![]() | -2 | -1 | |||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Производится одно единственное наблюдение. Необходимо проверить гипотезу . Альтернативная гипотеза
параметры
и
принимают все возможные значения, удовлетворяющие условию (2.14). В данном случае производится проверка простой гипотезы
против сложной гипотезы
.
Вычислим функции правдоподобия и
, построим отношение правдоподобия и определим критическое множество. Если неизвестны значения параметров при верности той или иной гипотезы, то вместо
и
в функцию правдоподобия подставим те значения
и
, которые максимизируют функцию правдоподобия. Расчет функций правдоподобия.
1. =-2,
,
,
.
2. =-1,
,
,
,
3. =0,
,
.
4. =1,
,
,
.
5. =2,
,
,
.
Таким образом, получаем отношение правдоподобия
(2.15)
В качестве критерия принятия гипотезы примем выполнение условия:
гипотеза не отклоняется для тех выборочных значений
, для которых отношение правдоподобия принимает наибольшие значения при
.
Как видно, отношение правдоподобия зависит от и наибольшие значения принимает, при
, (т.е.
при
). Поэтому, если
(-1, 0, +1), гипотеза
не отвергается. Тогда критическим множеством будут точки
(-2, +2).то есть если в результате эксперимента появятся значения
, равные -2 или 2, гипотеза
должна быть отвергнута.
Рассмотрим характеристики критерия отношения правдоподобия.
1. Мощность критерия:
,
но значение находится в интервале
и при
мощность критерия равна
<0.5.
2. Значимость критерия, [3, стр. 232].
.
3. Смещение критерия отношения правдоподобия.
Гипотеза - сложная гипотеза. Согласно определению несмещенности критерия должно выполняться условие
, или
,
но по условию задачи . Получается, что вероятность правильного принятия гипотезы
меньше 0.5, что является не приемлемым.
Вывод.
1. Критерий отношения правдоподобия - смещенный критерий, т.к. мощность критерия зависит от параметра и не превышает 0.5. Пользы от такого критерия нет.
2. Если , то
.
Причиной смещения критерия является неправильный выбор критерия проверки гипотезы .
Выберем другой критерий: гипотеза отвергается, если
, т.е. критическим множеством является точка
и рассмотрим свойства такого критерия.
1. Мощность критерия. .
2. Значимость критерия: .
3. Проверка на смещение критерия:
должно выполняться условие . Подставим соответствующие вероятности в это неравенство
,
,
т.е. должно выполняться неравенство , что действительно выполняется при условии
. Следовательно, принятый критерий – несмещенный критерий.
Вывод. К применению критерия отношения правдоподобия надо
подходить осторожно и необходимо проверять свойства критерия.
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 475 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!