Модель Леонтьева

Постановка задачи. Рассматривается экон.система, состоящая из n отраслей. В каждой отрасли выпускается единственный продукт и в кажд.отрасли имеется единств.технология производства. Известно: кол-во прод-и кажд.отрасли, необходимой для текущего производ.потребления в любой отрасли при выпуске его ед-цы прод-ии, а так же конечная продукция кажд.отрасли. Треб-ся опред-ть валов.прод-ю кажд.отрасли. Усл.обозначения: n-кол-во отраслей, i-№ отрасли поставляющей продукцию, j-№ отрасли, потребляющей продукцию, аij-кол-во прод-и i-ой отрасли, необходимое для текущего производ.потребления в j-ой отрасли при выпуске j-ой отрасли ед-цы под-ии. Аij=xij/xj – коэф-нт прямых затрат, yi-конечная продукция i-ой отрасли, xij-ВП i-ой отрасли. Введем матрицы:

а11 а12 а1n

A= a21 a22 a2n это матрица из коэффициентов прямых затрат

an1 an2 ann

у1

У= у2 вектор конечной продукции

у3

х1

Х= х2 вектор ВП

хn

Математич.модель:

А11х1+а12х2+…+а1nxn+y1=x1

A21x1+a22x2+…+a2nxn+y2=x2

An1x1+an2x2+…+annxn+yn=xn

Запишем модель в векторно-матричной форме: Ах+У=х; Y=x-Ax; Y=x(E-A); (E-A)^-1Y=x(E-A)(E-A)^-1; x=(E-A)^-1Y-это матрица полных затрат, ее коэффициенты показывают, сколько нужно произвести продукции i-отрасли, чтобы была произведена ед-ца конечной продукции в j-ой области. Из экон.смысла коэффиц-в полных затрат следует, что все они неотрицательны. Введенные ранее коэф-ты прямых затрат аij хар-т непосредств.зат-ты прод-и I-ой отрасли при выпуске ед-цы прод-и в j-ой отрасли. Кроме прямых зат-т на произ-во ед-цы прод-и в j-ой отрасли осущ-ся косвенные зат-ты. Н-р, пусть одним из видов прод-ии пищевой пром-сти явл-ся хлеб. Для его производ-ва необ-мо мука, электоЕ, многое др., что использ-ся при выпечке хлеба. Это прямые зат-ты прод-ии для произв-ва хлеба. Для произ-ва муки необх-мо использовать зерно, Е, т.д.Эти затр-ты прямые при произ-ве муки и косвенные при произ-ве хлеба. Хлеб: электроЕ, мука: электроЕ, зерно: семена, машины. Для произ-ва зерна необх-мы семена, машины и др.виды прод-ии. Это прямые зат-ты прод-ии при пр-ве зерна и косв.1 порядка при пр-ве муки, а так же косв.зат-ты 2 порядка при произ-ве хлеба. Приведенную схему м.продолжить дальше. Полные зат-ты элЕ, при произ-ве ед-цы прод-и хлебопекарной пром-сти склад-ся из прямых зат-т всех порядков.