Статистические игры с единичным идеальным экспериментом

Постановка задачи: статистик располагает возможностью выбора одной из m стратегий: А1, А2,…, Аm. Относительно состояния природы можно сделать n предположений П1, П2,…, Пn. Причем вероятности наступления событий известны Q1, Q2, …, Qn.

å( Q1+ Q2+…+ Qn) = 1.

Известна матрица выигрышей:

Аi \ Пi П1 П2 … Пn

А1 а11 а12 … а1n

А2 а21 а22 … а2n

… … … … …

Аm аm1 аm2... аmn

аij – выигрыш статистика при выборе стратегии аi в условиях, когда природа принимает состояние Пj.

Для снижения степени неопределенности ситуации статистик может провести единичный идеальный эксперимент, в результате которого выяснит, какое состояние примет природа. Затраты на проведение эксперимента известны и равны С, измеряются в тех же единицах, что и выигрыш в платежной матрице. Требуется определить, целесообразно ли проведение данного эксперимента и какая стратегия будет оптимальной при проведении эксперимента и в случае отказа от него.

Для того чтобы ответить на первый вопрос, следует сравнить мах-но возможный средний выигрыш без проведения эксперимента со средним выигрышем, который можно получить после эксперимента.

1. Мах средний выигрыш без проведения эксперимента определяется по критерию ba.

n

ba = мах å аij * Qi

i j=1

2. Средний выигрыш, который можно получить после проведения эксперимента, определяется следующим образом. Если эксперимент проведен, то известно, какое состояние примет природа. Пусть им оказалось состояние Пj, тогда игроку А следует использовать ту стратегию, для которой при состоянии Пj его выигрыш максимален.

Вj = мах аij

i

Вопрос о целесообразности проведения эксперимента нужно решить заранее, значит, необходимо рассчитать средний максимальный выигрыш, который в достаточно длинной последовательности партий игр в условиях полного предвидения равен:

_ n

В = å Bj * Qj

j=1

3. С учетом затрат С средний выигрыш статистика при проведении эксперимента равен: _ _

_ В эксп = В – С

4. Если В эксп превышает ba, то эксперимент проводить целесообразно, иначе от эксперимента следует отказаться.

Ответ на второй вопрос следующий: после выполнения эксперимента и выяснения действительного состояния природы в качестве оптимальной следует выбрать ту стратегию, которая для данного состояния природы обеспечит человеку мах выигрыш. Если эксперимент проводить нецелесообразно, то лучшая стратегия определяется по критерию Байеса- Лапласа.

Правила, определяющие целесообразность проведения единичного идеального эксперимента можно сформулировать по другому: эксперимент целесообразен, если затраты на его осуществление меньше минимального среднего риска:

n

С á min å r ij * Qj

i j=1