Застосування логіки предикатів для аналізу міркувань, які виражаються природною мовою

Логіка предикатів знаходить застосування для перевірки пра вильності міркувань (і не тільки математичних), які проводяться природною мовою. Розглянемо міркування, суть яких полягає у встановлені певного логічного слідування. Перевірити коректність (правильність) такого міркування, це значить перевірити, чи логічно слідує зроблений висновок з припущень (посилок).

Отже, щоб перевірити коректність міркування (на базі логіки предикатів), яке виражене природною мовою, насамперед необхідно посилки і висновок записати символічною мовою логіки предикатів, тобто записати їх логічну структуру, а тоді розв’язати задачу на логічне слідування.

Перед тим, як розглянути конкретні приклади наведемо відому в традиційній логіці класифікацію простих категоричних суджень:

1) загальностверджувальне - «Всі P є Q»;

2) частково стверджувальне - «Деякі P є Q»;

3) загальнозаперечувальне - «Жодне P не є Q»;

4) частковозаперечувальне - «Деякі P не є Q».

Записи цих суджень мовою логіки предикатів матимуть відповідно вигляд:

1) x (P (x) → Q (x)); (для будь-якого елемента x, якщо x має властивість P (тобто P (x) - істинне), то він також має властивість Q (тобто Q (x) - істинне); будь-який елемент x, який має властивість P, має також властивість Q);

2) x (P (x) Q (x));

3) x (P (x) → ┐ Q (x));

4) x (P (x) ┐ Q (x)).

Зазначимо, що в загальних судженнях поряд з квантором загальності з’являється операція імплікації, а в часткових судженнях поряд з квантором існування - операція кон’юнкції, що відповідає змісту суджень природної мови.

відповідає змісту суджень природної мови.

Приклад 1.

Перевірити, чи правильне на базі логіки предикатів міркування:

«Деякі додатні числа менші всіх коренів рівняння f (x)=0. Жодне додатне число не менше від жодного від’ємного. Отже, жодний корінь рівняння f (x)=0 не є від’ємним».

Розв’язування.

Запишемо логічну структуру посилок і висновку, вводячи замість конкретних предикатів предикатні символи: P (x) замість «x – додатне число», Q (x) замість «x є

коренем f (x)=0», R (x, y) замість «x менше y», S (x) замість «x - від’ємне».

Тоді посилки і висновок можна подати відповідно у вигляді таких формул:

x (P (x) y (Q (y) → R (x, y))),

z (P (z) → u (S (u) → ┐ R (z, u))),

w (Q (w) → ┐ S (w)).

Отже,задача звелася до перевірки співвідношення

Для перевірки логічного слідування, використаємо метод резолюції.

Спочатку посилки і заперечення висновку подамо у вигляді КНФ.Для першої посилки,тобто для формули

x (P (x) y (Q (y) R (x, y)))

дістаємо:

x (P (x) y (┐ Q (y) ˅ R (x, y)))

(виразили імплікацію через ┐ і ˅ );

x y (P (x) ( ┐ Q (y) ˅ R (x, y)))

(комутативність і пронесення квантора y);

y (P (a) ( ┐ Q (y) ˅ R (a, y))) (1)

(a - константа Сколема).

Аналогічні перетворення виконаємо для другої посилки:

z (P (z) u (S (u) ┐ R (z, u)));

z ( ┐ P (z) ˅ u ( ┐ S (u) ˅┐ R (z, u)))

(виразили через ┐ і ˅ );

z u ( ┐ P (z) ˅┐ S (u) ˅┐ R (z, u)) (2)

(комутативність і пронесення квантора u).

Заперечення висновку, тобто

┐ w (Q (w) ┐ S (w))

зведемо також до КНФ. Виконуючи перетворення, діставатимемо:

┐ w (┐ Q (w) ˅ ┐ S (w));

w ┐(┐Q (w) ˅ ┐S (w));

w (Q (w) S (w));

Q (b) S (b). (3)

В останньому виразі b - константа Сколема

Враховуючи формули (1), (2), (3), можна записати таку множину диз’юнктів:

1. P (a);

2. ┐ Q (y) ˅ R (a, y);

3. ┐ P (z) ˅ ┐ S (u)  ┐ R (z, u);

4. Q (b);

5. S (b),

яку слід перевірити на суперечність.

Застосовуючи метод резолюції, дістанемо:

6. R (a, b) (4 і 2; ={ y:= b });

7. ┐ P (a) ˅ ┐ S (b) (6 і 3; ={ z:= a; u:= b });

8. ┐P (a) (7 і 5);

9. □ (8 і 1)..

Порожня резольвента вказує на те, що множина суперечна, а отже, логічне слідування має місце. Значить, наведене міркування правильне.