![]() |
Главная Случайная страница Контакты | Мы поможем в написании вашей работы! | |
|
Метод Жордана - Гаусса является одной из модификаций метода Гаусса, в котором матрица коэффициентов при неизвестных последовательно приводится к единичной матрице, а на месте столбца свободных членов в расширенной матрице в результате располагается решение системы линейных алгебраических уравнений:
,
где - коэффициенты системы,
- свободные члены,
- неизвестные.
Сущность этого метода заключается в том, что, начиная со второго шага, зануляются все элементы в соответствующем столбце, кроме элемента, стоящего на главной диагонали. Это достигается с помощью алгебраических преобразований аналогичных классическому методу Гаусса. Если имеется система линейных алгебраических уравнений - го порядка, то на каждом шаге прямого хода метода Гаусса в каждом столбце матрицы коэффициентов зануляется ровно
коэффициент.
Стандартной функцией, которая реализует метод Жордана-Гаусса в системе MATLAB, является функция rref(). Аргументом у этой функции является расширенная матрица коэффициентов.
Пример: решить с помощью метода Жордана –Гаусса систему линейных алгебраических уравнений
.
>> A=[3 2 -1;2 -1 3;1 -2 2]; B=[4;9;3];
>> AB=[A B]
AB =
3 2 -1 4
2 -1 3 9
1 -2 2 3
>> rref(AB)
ans =
1 0 0 1
0 1 0 2
0 0 1 3
Для решения систем линейных алгебраических уравнений с помощью MATLAB можно применять оператор «\», который самостоятельно выбирает лучший метод для решения заданной системы уравнений. При этом решение системы линейных алгебраических уравнений любого порядка достигается одной командой:
Расчетная часть
Переводим в матричную форму:
Начнем преобразовывать к матрице с треугольником нулей:
Для начала переставим столбец на место столбца
Помножим первую строку на 2 и прибавим к четвертой, и параллельно сложим первую и третью строки:
Помножим вторую строку на (-3) и прибавим к четвертой строке:
Помножим вторую строку на(-2.5) и прибавим к третьей:
Теперь третью строку домножим на (-2) и прибавим к четвертой:
Образовался “нулевой треугольник”, можно определить что ранг матрицы равен 4, и ранг расширенной матрицы тоже равен 4, значит система совместна и она имеет решения. Возвращаемся в системе алгебраических уравнений, учитывая что мы перемещали столбец
Теперь просчитать систему линейных алгебраических уравнений гораздо проще и мы имеем:
Метод Жордана-Гаусса:
Возьмем уже приведенную матрицу из метода Гаусса:
Приведем к виду в единичной диагональю:
Домножим вторую строку на (-2) и сложим с первой:
Домножим третью строку на () и прибавить ко второй:
Теперь в 5 раз увеличим четвертую строку и прибавим к третьей:
Продолжим операцию с четвертой строкой. Домножим на (-1) и прибавим ко второй строке:
Ту же строку (четвертую) умножим на (-2) и прибавим к первой строке:
Получаем те же ответы что и в методе Гаусса:
Расчет системы линейных алгебраических уравнений в системе MATLAB:
Исследуем на совместность:
Вводим данные системы линейных алгебраических уравнений и задаем программу для расчета:
Визуально видим, что
Сравниваем полученные данные:
Метод Гаусса: метод Жордана-Гаусса: Расчет в системе MATLAB:
Дата публикования: 2015-03-26; Прочитано: 1828 | Нарушение авторского права страницы | Мы поможем в написании вашей работы!