Решение систем линейных алгебраических уравнений методом Жордана-Гаусса

Метод Жордана - Гаусса является одной из модификаций метода Гаусса, в котором матрица коэффициентов при неизвестных последовательно приводится к единичной матрице, а на месте столбца свободных членов в расширенной матрице в результате располагается решение системы линейных алгебраических уравнений:

,

где - коэффициенты системы, - свободные члены, - неизвестные.

Сущность этого метода заключается в том, что, начиная со второго шага, зануляются все элементы в соответствующем столбце, кроме элемента, стоящего на главной диагонали. Это достигается с помощью алгебраических преобразований аналогичных классическому методу Гаусса. Если имеется система линейных алгебраических уравнений - го порядка, то на каждом шаге прямого хода метода Гаусса в каждом столбце матрицы коэффициентов зануляется ровно коэффициент.

Стандартной функцией, которая реализует метод Жордана-Гаусса в системе MATLAB, является функция rref(). Аргументом у этой функции является расширенная матрица коэффициентов.

Пример: решить с помощью метода Жордана –Гаусса систему линейных алгебраических уравнений

.

>> A=[3 2 -1;2 -1 3;1 -2 2]; B=[4;9;3];

>> AB=[A B]

AB =

3 2 -1 4

2 -1 3 9

1 -2 2 3

>> rref(AB)

ans =

1 0 0 1

0 1 0 2

0 0 1 3

Для решения систем линейных алгебраических уравнений с помощью MATLAB можно применять оператор «\», который самостоятельно выбирает лучший метод для решения заданной системы уравнений. При этом решение системы линейных алгебраических уравнений любого порядка достигается одной командой:

Расчетная часть

Переводим в матричную форму:

Начнем преобразовывать к матрице с треугольником нулей:

Для начала переставим столбец на место столбца

Помножим первую строку на 2 и прибавим к четвертой, и параллельно сложим первую и третью строки:

Помножим вторую строку на (-3) и прибавим к четвертой строке:

Помножим вторую строку на(-2.5) и прибавим к третьей:

Теперь третью строку домножим на (-2) и прибавим к четвертой:

Образовался “нулевой треугольник”, можно определить что ранг матрицы равен 4, и ранг расширенной матрицы тоже равен 4, значит система совместна и она имеет решения. Возвращаемся в системе алгебраических уравнений, учитывая что мы перемещали столбец

Теперь просчитать систему линейных алгебраических уравнений гораздо проще и мы имеем:

Метод Жордана-Гаусса:

Возьмем уже приведенную матрицу из метода Гаусса:

Приведем к виду в единичной диагональю:

Домножим вторую строку на (-2) и сложим с первой:

Домножим третью строку на () и прибавить ко второй:

Теперь в 5 раз увеличим четвертую строку и прибавим к третьей:

Продолжим операцию с четвертой строкой. Домножим на (-1) и прибавим ко второй строке:

Ту же строку (четвертую) умножим на (-2) и прибавим к первой строке:

Получаем те же ответы что и в методе Гаусса:

Расчет системы линейных алгебраических уравнений в системе MATLAB:

Исследуем на совместность:

Вводим данные системы линейных алгебраических уравнений и задаем программу для расчета:

Визуально видим, что

Сравниваем полученные данные:

Метод Гаусса: метод Жордана-Гаусса: Расчет в системе MATLAB: