Тема 1.1. Вступ
1. З історії виникнення і розвитку математичного аналізу. Предмет і метод математичного аналізу. Зв’язок з шкільним курсом математики.
2. Символіка теорії множин. Способи визначення множин. Підмножина. Скінченні і нескінченні множини. Операції над множинами (об’єднання, перетину, різниці, симетричної різниці) та їх властивості. Символіка математичної логіки. Висловлення, висловлювальні форми. Квантори. Побудова заперечень висловлень. Імплікація, кон’юнкція, диз’юнкція та їх заперечення.
Література: [1, 2, 5].
Тема 1.2. Система дійсних чисел.
1. Система дійсних чисел. Аксіоми додавання, множення, порядку. Єдиність нуля, протилежного числа, одиниці, оберненого числа. Існування єдиного розв’язку рівнянь a+x=b, a∙x=b. Доведення рівностей 0∙x=0, -x=(-1)∙x. Зображення дійсних чисел на прямій. Щільність множини дійсних чисел. Натуральні числа. Метод математичної індукції. Розрізи системи дійсних чисел. Граничне число розрізу. Єдиність граничного числа. Аксіома неперервності системи дійсних чисел. Цілі, раціональні, ірраціональні числа.
2. Теорема про те, що не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2. Існування ірраціональних чисел. Обмежені множини. Точні межі та їх властивості. Теорема про існування точних меж.
3. Принцип Архімеда (у двох формах). Щільність множини раціональних чисел відносно множини дійсних. Модуль дійсного числа та його властивості.
Література: [1, 2, 5].
1. Дійсні числа. Точні межі.
2. Властивості модуля.
Тема 1.3. Функції.
1. Функція. Рівність функцій. Дії над функціями. Способи задання функцій. Графік функції, найпростіші правила перетворення графіків. Класи функцій (обмежені, парні, непарні, монотонні, періодичні). Складна функція. Обернена функція.
Література: [1, 2, 5].
1. Функція. Область визначення функції.
2. Класи функцій (обмежені, монотонні, парні, непарні, періодичні).
3. Побудова графіків функцій.
4. Побудова графіків функцій.
Тема 1.4. Границя.
1. Числова послідовність. Границя послідовності. Властивості послідовностей, які мають границю (єдиність границі, обмеженість, відокремленість від нуля і збереження знаку, перехід до границі в нерівності, границя проміжної послідовності).
2. Нескінченно малі послідовності та їх властивості (сума та добуток на обмежену). Критерій існування границі послідовності (через нескінченно малу). Границя суми, різниці, добутку і частки послідовностей. Границя монотонної обмеженої послідовності. Нерівність Бернуллі.
3. Число “e”. Принцип Кантора. Теорема Больцано – Вейєрштраса. Означення фундаментальної послідовності. Критерій Коші збіжності послідовності.
4. Окіл. Точка скупчення (два рівносильні означення). Означення границі за Коші функції в точці і на нескінченності. Односторонні границі та їх зв’язок з границею. Означення границі функції за Гейне. Теорема про рівносильність означень границі функції за Коші та за Гейне.
5. Властивості функцій, які мають границю (єдиність границі, локальна обмеженість, відокремленість від нуля і збереження знаку, перехід до границі в нерівності, границя проміжної функції). Границя складної функції.
6. Нескінченно малі функції та їх властивості (сума та добуток на обмежену). Нескінченно великі та їх зв’язок з нескінченно малими. Порівняння нескінченно малих. Необхідна і достатня умова еквівалентності нескінченно малих. Теорема про границю відношення нескінченно малих. Границя суми, різниці, добутку та частки функцій. Границя монотонної обмеженої функції. Перша визначна границя. Друга визначна границя як границя функції.
Література: [1, 2, 5, 8].
Тема 1.5. Неперервність.
1. Неперервність функції в точці (основне означення, за Коші та через прирости). Критерій неперервності функції в точці (через послідовності) та означення неперервності функції за Гейне. Неперервність суми, добутку та частки. Неперервність складної функції. Однобічна неперервність. Необхідна і достатня умови неперервності функції в точці (через однобічну неперервність). Класифікація точок розриву. Точки розриву монотонної функції.
2. Неперервність функції на множині. Теорема Больцано – Коші про проходження через нуль та про проміжні значення неперервної функції. Теорема про існування і неперервність оберненої функції. Перша та друга теореми Вейєрштраса.
3. Поняття рівномірної неперервності. Теорема Кантора про рівномірну неперервність. Неперервність многочлена, дробово-раціональної функції, тригонометричних та обернених тригонометричних функцій.
Література: [1, 2, 5, 8].
1. Неперервність функції в точці.
2. Неперервність функції на множині.
3. Модульна контрольна робота.
Тема 1.6. Елементарні функції.
1. Степенева функція з натуральним показником. Теорема про існування кореня з натуральним показником. Означення і властивості степеня з дробовим показником. Показникова функція з раціональним показником, її властивості. Лема про границю послідовності .
2. Лема про існування границі показникової функції з раціональним показником в точці 0. Лема про існування границі показникової функції з раціональним показником в довільній точці. Означення степеня з ірраціональним показником. Означення показникової функції з дійсним показником. Властивості показникової функції (область визначення, теорема додавання, монотонність, неперервність, множина значень, піднесення до степеня).
3. Аксіоматичне означення показникової функції. Логарифмічна функція та її властивості. Степенева функція та її властивості.
Література: [1, 2, 5].
2 модуль
Тема 2.1. Похідна і диференціал.
1. Задачі, що приводять до поняття похідної. Означення похідного числа. Похідна функція. Означення диференційовної функції в точці. Зв’язок диференційовності з неперервністю. Зв’язок диференційовності з існуванням похідної. Арифметичні властивості похідних. Похідна складної функції.
2. Похідна оберненої функції. Похідні основних елементарних функцій. Диференціал функції. Арифметичні властивості диференціала. Диференціал лінійної функції. Друга форма диференціала першого порядку, її інваріантність. Застосування диференціала до наближених обчислень.
3. Похідні та диференціали вищих порядків, зв’язок між ними. Формула Лейбніца. Порушення інваріантності форми для диференціалів вищих порядків. Параметрично задані функції та їх диференціювання. Неявно задані функції та їх диференціювання.
Література: [1, 2, 5, 8].
1. Означення і властивості похідних.
2. Обчислення похідних.
3. Обчислення похідних.
4. Диференціал і диференційовність. Наближені обчислення за допомогою диференціала.
Тема 2.2. Основні теореми і формули диференціального числення.
1. Локальні екстремуми функції (строгі і нестрогі). Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Лагранжа, різні форми залишкового члена. Умови того, що функція є сталою. Теорема Коші.
2.Формула Тейлора для многочлена. Формула Тейлора в загальному випадку, залишковий член у формах Лагранжа, Коші, Пеано.
Література: [1, 2, 5, 8].
Тема 2.3. Застосування диференціального числення до дослідження функцій, обчислення границь та розв’язування рівнянь.
1. Умови монотонності функції на проміжку. Необхідна умова екстремуму. Перша та друга достатні умови екстремуму. Найбільше і найменше значення функції на проміжку, їх відшукання.
2. Два означення опуклості та вгнутості графіка функції та їх рівносильність. Необхідні і достатні умови опуклості та вгнутості. Поняття точки перегину. Необхідна умова точки перегину. Достатня умова точки перегину.
3. Перше правило Лопіталя. Наслідок про границю на нескінченності.
4. Друге правило Лопіталя. Правила розкриття неозначеностей.
5. Поняття про асимптоти графіка функції. Знаходження вертикальних та похилих асимптот. Повне дослідження функції методами диференціального числення та побудова графіка.
6.Методи хорд і дотичних наближеного розв’язування рівнянь.
Література: [1, 2, 5, 8].
1. Геометричні і механічні застосування похідної.
2. Обчислення границь за правилами Лопіталя.
3. Обчислення границь за правилами Лопіталя.
4. Відшукання асимптот кривої.
5. Дослідження функцій на монотонність та екстремум,
6. Дослідження функцій на монотонність та екстремум,
7. Дослідження функцій на опуклість. Відшукання точок перегину.
8. Повне дослідження функцій та побудова графіків.
9.Модульна контрольна робота.
3 модуль
Тема 3.1. Неозначений інтеграл.
1. Поняття первісної. Приклад функції, яка не має первісної. Теорема про множину всіх первісних даної функції. Поняття неозначеного інтеграла. Властивості неозначеного інтеграла (похідна від інтеграла, інтеграл від похідної, лінійна властивість). Таблиця основних інтегралів. Поняття про інтегрування в скінченному вигляді. Основні методи інтегрування (заміни змінної, частинами).
2. Інтегрування раціональних функцій. Інтегрування елементарних раціональних дробів. Лема про розкладання правильного раціонального дробу, знаменник якого має дійсний нуль. Лема про розкладання правильного раціонального дробу, знаменник якого має уявний нуль.
3. Теорема про розкладання правильного раціонального дробу на елементарні. Метод Остроградського інтегрування раціональних дробів. Інтегрування найпростіших алгебраїчних ірраціональностей, квадратичних ірраціональностей (підстановки Ейлера, окремі спеціальні прийоми, тригонометричні підстановки).
4. Інтегрування диференціального бінома. Інтегрування тригонометричних функцій виду R(sinx,cosx), sinαxsinβx, sinαxcosβx, cosαxcosβx, sinαxcosβx.
Література: [1, 2, 5, 8].
Тема 3.2. Означений інтеграл.
1. Внутрішня та зовнішня міри Жордана плоскої фігури. Означення вимірної за Жорданом (квадровної) фігури та її площі. Необхідна і достатня умова квадровності фігури.
2. Означення фігури нульової площі. Площа відрізка. Площа графіка неперервної функції. Квадровність криволінійної трапеції та її площа. Задача про обчислення шляху при нерівномірному русі. Поняття означеного інтеграла.
3. Необхідна умова інтегровності. Приклад обмеженої неінтегровної функції. Суми Дарбу та їх властивості (порівняння з інтегральними сумами, характер зміни при продовженні розбиття, порівняння верхньої з нижньою, точні межі інтегральних сум).
4. Критерій інтегровності обмеженої функції. Поняття коливання функції на сегменті. Друга форма критерію інтегровності. Інтегровність неперервної функції, монотонної функції. Інтегровність обмеженої функції з скінченним числом точок розриву.
5. Властивості означеного інтеграла (зміна порядку інтегрування, винесення сталої, інтеграл суми, адитивність, монотонність, модуль інтеграла).
6. Інтегровність добутку інтегровних функцій. Теореми про середнє (перша, друга та наслідок з неї, третя, четверта). Означений інтеграл зі змінною верхньою межею та його властивості (неперервність, існування похідної).
7. Існування первісної від неперервної функції, формула Ньютона – Лейбніца. Формула Ньютона – Лейбніца для інтегровної функції, яка має первісну. Інтегрування означених інтегралів частинами та заміною змінної.
8. Наближені методи обчислення означених інтегралів (прямокутників, трапецій, парабол).
Література: [1, 2, 5, 8].
1. Безпосереднє обчислення означених інтегралів.
2. Властивості означених інтегралів.
3.Обчислення означених інтегралів за формулою Ньютона – Лейбніца, заміною змінної та частинами. Наближене обчислення означених інтегралів.
Тема 3.3. Невласні інтеграли.
1. Поняття невласних інтегралів першого та другого роду. Поняття збіжності та абсолютної збіжності невласних інтегралів. Теорема про порівняння невласних інтегралів першого роду. Ознака збіжності невласних інтегралів першого роду. Теорема про збіжність абсолютно збіжного невласного інтеграла.
Література: [1, 2, 5, 8].
1.Обчислення невласних інтегралів першого та другого роду.
Тема 3.4. Застосування означеного інтеграла.
2. Квадровність криволінійного сектора та подання його площі через інтеграл в полярних координатах. Поняття неперервної кривої. Прості криві. Напрям на кривій. Означення спрямлюваної кривої та її довжини, гладкої та кусково-гладкої кривих. Обчислення довжини кусково-гладкої кривої, заданої параметрично, явно, в полярних координатах. Диференціал дуги.
3. Поняття об’єму тіла обертання та його обчислення. Поняття площі поверхні обертання та її обчислення. Обчислення статичних моментів та координат центра мас плоскої кривої і криволінійної трапеції. Перша та друга теореми Гюльдена. Приклади квадровних фігур та спрямлюваних кривих у шкільному курсі математики.
Література: [1, 2, 5, 8].
1. Геометричні застосування означених інтегралів (обчислення площ плоских фігур та поверхонь обертання).
2. Геометричні застосування означених інтегралів (обчислення об’ємів тіл обертання, довжин плоских кривих).
3. Фізичні застосування означених інтегралів. Теореми Гюльдена.
4.Модульна контрольна робота.
5 модуль
Тема 4.1. Числові ряди.
1. Числовий ряд і його частинні суми. Збіжні та розбіжні ряди. Геометричний ряд. Геометричний ряд у шкільному курсі математики Додавання та множення на число збіжних рядів. Зв’язок збіжності ряду зі збіжністю його залишків. Сполучна властивість. Необхідна умова збіжності ряду. Гармонічний ряд. Критерій Коші збіжності числової послідовності і числового ряду.
2. Знакопостійні ряди. Критерій збіжності додатних рядів. Ознаки порівняння додатних рядів (перша, друга (у двох формах), третя). Ознаки збіжності додатних рядів (Даламбера, Коші (у двох формах), інтегральна).
3. Знакозмінні ряди. Теорема Лейбніца. Ряди з довільними членами. Абсолютно та умовно збіжні ряди. Теорема про збіжність абсолютно збіжного ряду. Арифметичні властивості абсолютно збіжних рядів.
4. Лема про подання суми абсолютно збіжного ряду у вигляді різниці сум двох додатних рядів. Теорема Діріхле про перестановку членів абсолютно збіжного ряду. Теорема Рімана про перестановку членів умовно збіжного ряду.
5. Границя послідовності комплексних чисел. Зв’язок границі послідовності комплексних чисел з границями її дійсної і уявної частин. Нескінченна границя. Розширена комплексна площина. Поняття числового ряду з комплексними членами. Збіжність та абсолютна збіжність. Зв’язок збіжності ряду зі збіжністю його дійсної і уявної частин. Збіжність абсолютно збіжного ряду. Добуток за Коші рядів з комплексними членами.
Література: Література: [1, 2, 5, 9].
1. Дослідження додатних рядів на збіжність за допомогою ознак порівняння.
2. Дослідження додатних рядів на збіжність за допомогою ознак збіжності.
3. Абсолютна та умовна збіжність. Знакозмінні ряди, ознака Лейбніца.
Тема 4.2. Функціональні послідовності і ряди.
1. Поняття функції комплексної змінної. Функціональна послідовність і функціональний ряд. Область збіжності. Збіжність у кожній точці, абсолютна збіжність та рівномірна збіжність. Критерій рівномірної збіжності функціональної послідовності та функціонального ряду. Ознака Вейєрштраса абсолютної та рівномірної збіжності функціонального ряду.
2. Теорема про неперервність границі рівномірно збіжної послідовності та суми рівномірно збіжного ряду з дійсними членами. Теореми про почленне інтегрування і диференціювання функціональних послідовностей і рядів з дійсними членами.
Література: [1, 2, 5, 9].
1. Функціональні ряди і послідовності. Область збіжності.
2. Рівномірна збіжність.
Тема 4.3. Степеневі ряди.
1. Поняття степеневого ряду з дійсними та комплексними членами. Теорема Абеля. Теорема про інтервал (круг) і радіус збіжності степеневого ряду. Поведінка степеневого ряду в кінцях інтервалу збіжності і на межі круга збіжності. Обчислення радіуса збіжності.
2. Рівномірна збіжність та неперервність суми степеневого ряду. Інтегрування та диференціювання степеневих рядів з дійсними членами. Ряд Тейлора. Критерій розкладання функцій у степеневий ряд.
3. Розкладання в степеневі ряди функцій ex, sin x, cos x, arctg x, ln(1+x), (1+x)α
4. Наближені обчислення за допомогою степеневих рядів (обчислення логарифмів, чисел “e” та “π”, коренів, інтегралів).
5. Означення показникової та тригонометричних функцій комплексної змінної, їх основні властивості. Формули Ейлера. Показникова форма комплексного числа. Необмеженість тригонометричних функцій.
6. Теорема додавання для показникової функції. Періодичність показникової функції. Тригонометричні тотожності. Гіперболічні функції, їх зв’язок з тригонометричними.
Література: [1, 2, 5, 9].
1. Степеневі ряди. Інтервал і радіус збіжності.
2. Степеневі ряди. Інтервал і радіус збіжності.
3. Розкладання функцій в степеневі ряди.
4. Степеневі ряди в комплексній області. Відшукання радіуса та круга збіжності.
5. Степеневі ряди в комплексній області. Відшукання радіуса та круга збіжності.
6. Наближені обчислення за допомогою рядів.
7. Наближені обчислення за допомогою рядів.
8. Модульна контрольна робота.
6 модуль
Тема 5.1. Поняття метричного простору. Відображення метричних просторів.
1. n-вимірний евклідів простір R n як узагальнення просторів R 1, R 2, R 3. Означення метричного простору. Приклади метричних просторів (R n, l2, C, C [a, b]). Відкрита куля. Окіл та проколотий окіл точки. Точка скупчення множини (два рівносильні означення). Похідна множина. Замкнена множина. Замикання множини. Ізольована точка множини.
2. Внутрішня точка і внутрішність множини. Відкрита множина. Відкритість відкритої кулі. Межова точка і межа множини. Теореми про доповнення відкритих і замкнених множин. Теореми про об’єднання і перетин відкритих і замкнених множин. Означення збіжної послідовності в метричному просторі. Єдиність границі послідовності. Означення фундаментальної послідовності. Теорема про те, що збіжна послідовність фундаментальна.
3. Неперервність метрики. Відображення метричних просторів. Поняття оператора і функціонала. Поняття границі відображення. Єдиність границі відображення. Означення неперервного відображення в точці за Коші та за Гейне, їх рівносильність. Неперервність композиції відображень. Необхідна і достатня умова неперервності відображення метричного простору. Поняття обмеженої множини метричного простору.
Література: [7, 10].
1. Метричні простори.
2. Відкриті і замкнені множини.
Тема 5.2. Лінійні простори.
1. Лінійний простір. Розмірність лінійного простору. Приклади лінійних просторів (R n, l2, C, C [a, b]), їх розмірність. Нормований простір. Метрика в нормованому просторі. Норма у просторах R n, l2, C, C [a, b]. Повні нормовані простори.
2. Скалярний добуток в лінійному просторі. Евклідів простір. Гільбертів простір. Визначення норми через скалярний добуток. Нерівність Коші-Буняковського. Нерівність трикутника в просторах R n, l2. Означення кута між векторами. Ортогональні вектори. Теорема Піфагора. Теорема про суму квадратів діагоналей паралелограма.
Література: [7, 10].
1. Лінійні нормовані простори.
Тема 5.3. Компактність.
1. Теорема Больцано-Вейєрштраса в просторі R n та її порушення в просторі l2. Означення компактної множини та компакта в метричному просторі. Замкненість компакта. Обмеженість компакта. Теорема про компакти в просторі Rn.
2. Теорема про компактність неперервного образу компакта. Теорема про рівномірну неперервність неперервного відображення компакта. Лема про компактність замкненої підмножини компакта. Теорема про неперервність оберненого відображення до відображення, неперервного на компакті. Неперервні функціонали на компакті, їх обмеженість та досягання точних меж.
Література: [7, 10].
1. Компактність.
Тема 5.4. Зв’язність.
1. Поняття зв’язної множини. Теорема про зв’язність відрізка дійсної осі. Означення неперервної кривої в метричному просторі. Поняття лінійно зв’язної множини. Теорема про зв’язність лінійно зв’язної множини. Теорема про лінійну зв’язність відкритої зв’язної множини. Теорема про неперервний образ зв’язної множини.
Література: [7, 10].
Тема 5.5. Повні метричні простори.
1. Поняття повного метричного простору. Повнота просторів R n, l2, C [a,b]. Означення стискаючого відображення. Теорема Банаха (принцип стискаючих відображень). Застосування теореми Банаха.
Література: [7, 10].
Тема 5.6. Лінійні оператори.
1. Означення лінійного оператора. Означення обмеженого оператора. Необхідна і достатня умова обмеженості лінійного оператора. Теорема про зв’язок неперервності лінійного оператора з його неперервністю в одній точці. Теорема про зв’язок неперервності лінійного оператора з обмеженістю. Означення норми обмеженого оператора. Існування норми. Теорема про норму обмеженого оператора.
Література: [7, 10].
Тема 6.1. Частинні похідні і диференціали.
1. Поняття функції n дійсних змінних. Графік функції двох змінних, лінії рівня. Поверхні рівня функції трьох змінних. Частинні похідні функції кількох змінних, їх геометричний зміст. Приклад розривної функції, яка має частинні похідні. Означення диференційовної функції. Дві форми запису приросту диференційовної функції.
2. Неперервність диференційовної функції. Теорема про існування частинних похідних диференційовної функції. Достатня умова диференційовності функції. Дотична площина. Зв’язок між диференційовністю і існуванням дотичної площини. Диференціал. Геометричний зміст диференціала функції двох змінних. Диференціювання складної функції.
3. Інваріантна форма диференціала. Правила диференціювання. Означення похідної за напрямом. Теорема про існування та обчислення похідної за напрямом.
4. Градієнт і його властивості. Частинні похідні вищих порядків. Теорема про рівність мішаних похідних.
5. Диференціали вищих порядків. Формула для диференціала довільного порядку функції двох змінних. Формула Тейлора для функції двох змінних. Формула Лагранжа. Наслідок про сталість функції, частинні похідні якої рівні нулю.
Література: [3, 6, 8].
1. Графік функції двох змінних. Область визначення. Лінії рівня.
2. Границя. Неперервність.
3. Частинні похідні.
4. Диференційовність. Похідна за напрямом.
5. Диференціал. Градієнт.
6. Похідні вищих порядків.
7.Похідні складних функцій.
8.Диференціали вищих порядків.
9.Формула Тейлора.
Тема 6.2. Неявні функції.
1. Поняття про неявну функцію однієї змінної. Теорема про існування і неперервність неявної функції однієї змінної. Теорема про диференціювання неявної функції однієї змінної. Рівняння дотичної і нормалі до кривої, заданої неявно.
2. Поняття неявної функції двох змінних. Теорема про існування та диференціювання неявної функції двох змінних. Рівняння дотичної площини і нормалі до поверхні, заданої рівнянням F(x,y,z)=0.
3. Неявні функції, визначені системою рівнянь.
Література: [3, 6, 9].
1.Похідні неявних функцій.
Тема 6.3. Екстремуми функцій кількох змінних.
1. Поняття екстремуму функції багатьох змінних. Необхідні умови екстремуму. Достатні умови екстремуму функції двох змінних.
2. Відшукання найбільшого та найменшого значень функції в замкненій області.
3. Поняття умовного екстремуму функції багатьох змінних. Необхідні умови умовного екстремуму (метод неявних функцій та метод множників Лагранжа), випадки функції двох змінних з однією умовою та функції трьох змінних з двома умовами.
4. Достатні умови умовного екстремуму, випадки функції двох змінних з однією умовою та функції трьох змінних з двома умовами.
Література: [3, 6, 8].
Тема 7.1. Подвійні інтеграли.
1. Задачі, які приводять до подвійного інтеграла (про масу плоскої фігури та про об’єм циліндричного бруса). Означення подвійного інтеграла по прямокутнику. Необхідна умова інтегровності. Суми Дарбу та їх властивості (порівняння з інтегральною сумою, зв’язок з інтегральними сумами, характер зміни при продовженні розбиття, порівняння верхньої з нижньою).
2. Критерій інтегровності функції. Поняття коливання функції. Друга форма критерію інтегровності. Інтегровність неперервної функції. Властивості подвійних інтегралів (лінійна, інтегровність по частині прямокутника, адитивність (два випадки), монотонність, інтегровність модуля, теорема про середнє та наслідок з неї).
3. Теорема про обчислення подвійного інтеграла по прямокутнику та наслідок з неї. Лема про інтеграл по прямокутнику від функції, продовженої нулем. Означення подвійного інтеграла по довільній обмеженій множині.
4. Означення вимірної за Жорданом (квадровної) множини. Необхідна і достатня умова квадровності множини. Означення множини нульової жорданової міри. Теорема про міру графіка неперервної функції та наслідок з неї.
5. Теорема про інтегровність неперервної функції на квадровній множині. Обчислення подвійного інтеграла по стандартній множині. Властивості подвійних інтегралів по квадровних множинах (лінійна, інтегровність по підмножині, адитивність (два випадки), монотонність, інтегровність модуля, теорема про середнє та наслідок з неї) (самостійно, б. д.).
6. Лема про оцінку приросту диференційовної функції. Лема про квадровність образу квадровної множини.
7. Заміна змінних у подвійному інтегралі. Подвійний інтеграл у полярних координатах.
Література: [3, 6, 9].
1. Обчислення подвійних інтегралів.
2. Обчислення об’ємів і площ.
3. Заміна змінних у подвійних інтегралах.Обчислення площі поверхні.
Тема 7.2. Потрійні інтеграли.
1. Означення потрійного інтеграла по паралелепіпеду. Обчислення потрійного інтеграла по паралелепіпеду. Означення потрійного інтеграла по довільній обмеженій множині.
2. Обчислення потрійного інтеграла по стандартній множині. Заміна змінних у потрійному інтегралі (б. д.). Потрійний інтеграл у циліндричних і сферичних координатах.
Література: [3, 6, 9].
1. Обчислення потрійних інтегралів.
2. Заміна змінних у потрійних інтегралах.
Тема 7.3. Застосування кратних інтегралів.
1. Обчислення площ плоских фігур, об’ємів просторових тіл. Означення та обчислення площі гладкої поверхні, заданої явно. Обчислення статичних моментів, координат центра мас, моментів інерції плоских та просторових тіл.
Література: [3, 6, 9].
1. Застосування потрійних інтегралів.
2. Фізичні застосування подвійних і потрійних інтегралів.
3. Фізичні застосування подвійних і потрійних інтегралів.
4.Фізичні застосування подвійних і потрійних інтегралів.
5.Модульна контрольна робота.
9 модуль
Тема 8.1. Елементи теорії поля.
1. Вектори, залежні від скалярного аргумента. Векторна функція скалярного аргумента, її границя, неперервність, похідна. Зв’язок границі, неперервності, похідної векторної функції скалярного аргумента відповідно з границями, неперервністю, похідними її компонент. Скалярні і векторні поля. Похідна за напрямом і градієнт скалярного поля. Потенціальне векторне поле та його потенціал. Потенціал гравітаційного поля.
Література: [3, 6, 9].
Тема 8.2. Криволінійні інтеграли.
1. Задача про масу матеріальної кривої. Означення криволінійного інтеграла першого роду. Існування і обчислення криволінійного інтеграла першого роду. Властивості криволінійного інтеграла першого роду (лінійна, незалежність від орієнтації кривої, монотонність, адитивність, властивість модуля, теорема про середнє).
2. Застосування криволінійного інтеграла першого роду до обчислення маси кривої, статичних моментів, координат центра мас. Задача про роботу змінної сили. Означення криволінійного інтеграла другого роду, його властивості (лінійна, адитивність, залежність від орієнтації кривої, інтеграл по відрізку).
3. Орієнтація замкненої кривої. Криволінійний інтеграл другого роду по замкненій кривій. Існування та обчислення криволінійного інтеграла другого роду. Криволінійний інтеграл другого роду по просторовій кривій.
4. Формула Гріна – Остроградського. Застосування криволінійного інтеграла другого роду до обчислення площ. Теорема про незалежність криволінійного інтеграла другого роду від шляху інтегрування, її фізичний зміст.
Література: [3, 6, 9].
1. Обчислення криволінійних інтегралів першого роду.
2. Обчислення криволінійних інтегралів першого роду.
3. Обчислення криволінійних інтегралів другого роду.
4. Обчислення криволінійних інтегралів другого роду.
Тема 8.3. Поверхневі інтеграли.
1. Означення та обчислення площі поверхні, заданої параметрично. Означення та обчислення поверхневого інтеграла першого роду.
2. Потік векторного поля через поверхню. Означення та обчислення поверхневого інтеграла другого роду. Обчислення поверхневого інтеграла другого роду у випадку, коли поверхня задана явно.
3. Формула Остроградського-Гаусса.
4. Формула Стокса.
Література: [3, 6, 9].
1. Обчислення поверхневих інтегралів першого роду.
2. Обчислення поверхневих інтегралів першого роду.
3. Обчислення поверхневих інтегралів другого роду.
4. Обчислення поверхневих інтегралів другого роду.
5. Модульна контрольна робота.
studopedia.org - Студопедия.Орг - 2014-2025 год. Студопедия не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования(0.005 с)...
.
2. Лема про існування границі показникової функції з раціональним показником в точці 0. Лема про існування границі показникової функції з раціональним показником в довільній точці. Означення степеня з ірраціональним показником. Означення показникової функції з дійсним показником. Властивості показникової функції (область визначення, теорема додавання, монотонність, неперервність, множина значень, піднесення до степеня).
3. Аксіоматичне означення показникової функції. Логарифмічна функція та її властивості. Степенева функція та її властивості.
Література: [1, 2, 5].
