Постановка задачи об оптимальном портфеле

В литературе [1, 7, 8, 9] описаны подходы к формированию оптимального портфеля с помощью моделей Блека, Марковица, Тобина. Задача оптимизации заключается в том, чтобы определить, какая доля портфеля должна быть отведена для каждой из инвестиций так, чтобы величина ожидаемого дохода и уровень риска соответствовали целям инвесторов. Например, целевой функцией может быть минимизация риска при заданной доходности, или максимизация дохода при риске не выше заданного. При этом на компоненты вектора Х, представляющего портфель, могут накладываться различные ограничения, зависящие от вида сделки, типа участвующих активов, величины открываемых позиций и т. д. Портфели, удовлетворяющие условиям данного рынка называются допустимыми.

1) В модели Блека допустимыми являются любые портфели. Это значит, что вектор Х удовлетворяет лишь основному ограничению:

Наличие коротких позиций (отсутствие условия неотрицательности) позволяет реализовать любую, сколь угодно большую доходность, естественно за счет большого риска.

2) В модели Марковица допустимыми являются только стандартные портфели (без коротких позиций). Это значит, что на вектор Х накладываются два ограничения:

основное ;

и неотрицательности x_i ³ 0

для всех i.

Портфель называют стандартным, если ин­вестор по каждому активу находится в длинной (long) позиции. Длинная позиция — это обычно покупка актива с намерением его последующей про­дажи (закрытие позиций). Такая покупка обычно осуществляется при ожи­дании повышения цены актива в надежде получить доход от разности цен покупки и продажи. Допустим, что относительно некоторого ак­тива инвестор уверен в обратном, то есть в понижении его стоимости. В этом случае он может совершить сделку, которая называется короткой продажей (short sale). Для этого он берет данный актив взаймы у другого инвестора (кредитора), сразу же продает его, а впоследствии покупает на рынке по сниженной цене и возвращает его своему кредитору. При этом он обязан выплатить кредитору текущий доход по активу за время сделки и некоторый процент за предоставление самой возможности сделки (за кредит). На большинстве фондовых бирж короткие продажи вполне допустимы и часто используются, но ввиду их особой рискованности биржи могут вводить ограничения на общую величину коротких позиций в сделках.

Особенностью модели Марковица является то, что доходность любого стандартного портфеля не превышает наибольшей доходности активов, из которых он построен.

3) Модель Тобина-Шарпа-Литнера. В этой модели предполагается наличие так назывемых безрисковых активов, доходность которых не зависит от состояния рынка и имеет постоянное значение.

Пример 4..1.

Сформировать портфель минимального риска из двух видов ценных бумаг - АРТ с эффективностью12% и риском 21.1 и ВЕРМ с эффективностью 5.1% и риском 8.3 при условии, что обеспечивается доходность портфеля (m_p =S x_i m_i) не менее 8.9%. Коэффициент корреляции равен 0.18.

Решение.

Модель Марковица может быть сформулирована следующим образом.

Необходимо найти вектор Х= (X₁, X₂), минимизирующий риск портфеля s_p.

X₁ - доля в портфеле ценных бумаг АРТ;

X₂ - доля в портфеле ценных бумаг ВЕРМ,

s_p= = =

= ® min

При ограничениях:

X₁ + X₂ =1

12´X₁ + 5.1´X₂ ³ 8.9

X₁,X₂ ³ 0

Графический метод решения задачи дает следующие результаты.

Рис. 4.3. Минимальный риск портфеля равный 12.88% достигается в точке пересечения линий (Х₁=0.55 и Х₂=0.45), соответствующих ограничениям X₁ + X₂ =1 и 12´X₁ + 5.1´X₂ ³ 8.9 и целевой функции.

Довольно легко можно получить решение задачи в среде EXCEL с помощью надстройки Поиск решения. (Рис.4.4. и табл. 4.2.).

Рис.4.4. В ячейке Е5 получено минимальное значение целевой функции.

Табл. 4.2.Фрагмент отчета по результатам.

Microsoft Excel 8.0 Отчет по результатам
Ячейка	Имя	Исходно	Результат
$E$5			12.8799
Ячейка	Имя	Исходно	Результат
$A$3			0.550
$B$3			0.449

Ответ: Минимальный риск портфеля равный 12.88% будет достигнут, если доля акций АРТ составит 0.55, а доля акций ВЕРМ – 0.45.

Пример 4.2.

Найти оптимальный портфель максимальной эффективности для трех ценных бумаг REXX, SNS и LIKX с доходностью и риском:

	REXX	SNS	LIKX
mi (%)		10.5
si

Матрица коэффициентов корреляции

	REXX	SNS	LIKX
REXX		0.52	0.27
SNS	0.52		0.75
LIKX	0.27	0.75

Верхняя граница риска задана равной 16.

Решение.

Модель может быть сформулирована следующим образом.

Необходимо найти вектор Х= (X₁, X₂ , X₃), максимизирующий доходность портфеля m_p.

X₁ – доля в портфеле ценных бумаг REXX,

X₂ – доля в портфеле ценных бумаг SNS,

X₃ – доля в портфеле ценных бумаг LIKX.

m_p=12´X₁+7´X₂+11´X₃®max

при ограничениях

X₁ + X₂ + X₃ =1

s_p= 16

X₁,X₂, X₃ ³ 0

Матрица ковариаций получена с использованием формулы[iv]

COV_i,j= r_i,j ´ s_i ´ s _j,.

COV=

Для решения задачи следует воспользоваться надстройкой EXCEL Поиск решения [7]. В результате решения получена максимально возможная доходность портфеля 11.29 при значениях вектора Х, записанных в ячейки $G1:$I1 (Рис. 4.5.)

Рис. 4.5. Фрагмент листа ЕХСЕL с исходными данными и результатами (X).

Ответ: Максимальную доходность 11.324% можно получить, если доли акций REXX, SNS и LIKX составят 0.47, 0.29 и 0.25

[1] В теории игр аналогичные матрицы носят название матрица игры, платежная матрица, матрица выигрышей; при этом термин «выигрыш» соотносят с первым игроком (в нашем случае им является ЛПР), так что отрицательное значение такой матрицы понимается как проигрыш первого игрока. В задачах анализа финансовых операций матрица последствий называется также матрицей доходов.

[2] Матрицы рисков называют также матрицами потерь, или матрицами упущенных возможностей.

[3] Критерий оптимальности итальянского экономиста В.Парето применяется при решении многокритериальных задач, в которых оптимизация означает улучшение одних показателей при условии, что другие при этом не ухудшаются.

[4] Множеством, или областью Парето в общем случае называют множество всех допустимых решений, для которых невозможно одновременно улучшить все частные показатели эффективности в задачах многокритериальной оптимизации, т.е. невозможно улучшить хотя бы один из них, не ухудшая остальных. Принадлежащие множеству Парето решения называются эффективными, или оптимальными по Парето.

[5] Под результатом финансовой операции k чаще всего понимают ее доходность (норму дохода), т.е. сумму полученных доходов, исчисленную в процентном отношении к сумме произведенных затрат.

[6] Под внутренней нормой доходности (IRR) – наиболее широко используемым критерием эффективности инвестиций – понимают процентную ставку, при которой чистая современная стоимость инвестиционного проекта равна нулю.

[7] Поиск решения позволяет решать задачи с нелинейными ограничениями и целевыми функциями.

[i] Дисперсия

Дисперсия случайной величины является наиболее употребительной числовой характеристикой степени вариации значений случайной величины вокруг центра группирования. Дисперсия обычно обозначается как . Дисперсия – это математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от своего математического ожидания:

Из можно получить - теоретическое стандартное отклонение - стандартное отклонение случайной переменной есть квадратный корень из ее дисперсии.