Комбинации ожидаемого значения и дисперсии как критерий риска

Данный критерий является модификацией критерия ожидаемо­го значения, причем он модифицирован таким образом, что его мож­но использовать для принятия решений в редко повторяющихся си­туациях. Использование дисперсии, или среднего квадратического отклонения ожидаемого дохода в финансовых операциях на сегодняшний день является одной из главных оценок рискованной опе­рации, количественной оценкой риска.

3.3.1. Анализ общего риска: активы, рассматриваемые изолированно

Понятия распределения вероятностей и ожидаемой величины могут исполь­зоваться как основа для измерения риска. Известно, что риск присутствует в том случае, если исследуемые распределения имеют более одного возможного ис­хода, однако каким образом можно измерить риск и оценить его количественно? Чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим сначала методику исчисления об­щего риска.

Выше мы предположили, что возможны 5 состояний экономики (см. табл. 3.1). На самом же деле состояние экономики может варьироваться от самой глубокой депрессии до наивысше­го подъема с бесчисленным количеством промежуточных поло­жений. Обычно среднему (нормальному) состоянию соответству­ет самая большая вероятность, далее значения вероятностей рав­номерно уменьшаются при удалении от нормы как в одну (подъ­ем), так и в другую (спад) сторону, стремясь к нулю в крайних по­ложениях (полная депрессия и наибольший подъем). Если при этом величина доходности, соответствующая нормальному поло­жению, является одновременно и средним арифметическим двух крайних значений, то мы получаем распределение, которое в тео­рии вероятностей носит название «нормального». Его графическое изображение дано на рис. 3.2.

Нормальное распределение достаточно полно отражает реаль­ную ситуацию и дает возможность, используя ограниченную ин­формацию, получать числовые характеристики, необходимые для оценки степени риска того или иного проекта. Далее будем всегда предполагать, что мы находимся в условиях нормального распре­деления вероятностей.

Замечание. В действительности в чистом виде нормальное распределение в экономических явлениях встречается редко, однако, если однородность совокупности соблюдена, часто фактические распределения близки к нормальному.

Вопрос 2. Реальные распределения вероятностей могут существенно отличаться от нормального. Насколько сильно будут искажены наши выводы, если в наших рассуждениях мы будем исходить только из нормального закона распределения вероятностей?

Ответ: а) затрудняюсь ответить; б) существенно искажены; в) искажения будут несущественными.

Правильный ответ в).

При любом варианте ответа см. справку 2.

Справка 2. Даже если распределение не является близким к нормальному, на основании тео­ремы Чебышева можно утверждать, что для любого распределения не менее 89% всех исходов лежит в пределах трех средних квадратических отклонений от ожидаемого значения.

ERR

Рис. 3.2. Нормальное распределение вероятностей

На рисунке 3.1 приведены графики распределения вероятностей для проектов 1 и 2. Условиям нормального распределения удовлетворяет проект 2.

Для большей прозрачности дальнейших рассуждений, полезно предварительно решить самостоятельно следующую задачу

Задача 1. Рассмотрим два финансовых проекта А и В, для кото­рых возможные нормы доходности (IRR) находятся в зависимо­сти от будущего состояния экономики. Данная зависимость отра­жена в таблице 3.2

Таблица 3.2.

Данные для расчета ожидаемой нормы доходности вариантов вложения капитала в проекты А и В

Состояние экономики	Вероятность данного состояния	Проект А, IRR	Проект В, IRR
Подъем Норма Спад	P1 = 0,25 Р2 = 0,5 Р3 = 0,25	90% 20% - 50%	25% 20% 15%

Рассчитайте для каждого из проектов ожидае­мую норму доходности ERR. Сравните результаты своих вычислений с ответом.

Ответ: Для проекта А по формуле (3.1) получаем:

ERR_А = 0,25 ´ 90% + 0,5 ´ 20% + 0,25 ´ (-50%) = 20%.

Для проекта В:

ERR_В = 0,25 ´ 25% + 0,5 ´ 20% + 0,25 ´ 15% = 20%

Таким образом, для двух рассматриваемых проектов ожидае­мые нормы доходности совпадают, несмотря на то, что диапазон возможных значений IRR сильно различается: у проекта А от -50% до 90%, у проекта В от 15% до 25%. На рисунке 3.3 приведены графики распределения вероятностей для проектов А и В, (они удовлетворяют условиям нормального распределения).

Рис. 3.3. Распределение вероятностей для проектов А и В

Предполагается, что для проекта А в наихудшем случае убыток не составит более 50%, а в наилучшем случае доход не превысит 90%. Для проекта В 15% и 25% соответственно. Очевидно, что тогда значение ERR останется прежним (20%) для обоих проектов, совпадая со значением среднего состояния. Со­ответствующая же среднему значению вероятность понизится, причем не одинаково в наших двух случаях.

	р

ERR

Рис. 3.4. Распределение вероятностей для проектов А и В

Очевидно, чем более «сжат» график, тем выше вероятность, со­ответствующая среднему ожидаемому доходу (ERR), и вероят­ность того, что величина реальной доходности окажется доста­точно близкой к ERR. Тем ниже будет и риск, связанный с соот­ветствующим проектом. Поэтому меру «сжатости» графика мож­но принять за достаточно корректную меру риска.

Меру «сжатости» определяет величина, которая в теории веро­ятности носит название «среднеквадратичного отклонения» - s - и рассчитывается по следующей формуле

(3.2)

Чем меньше величина s, тем больше «сжато» соответствующее распределение вероятностей, и тем менее рискован проект. При этом для нормального распределения вероятность «попадания» в пределы ERR ± s составляет 68,26%.

Рассчитаем значение s для рассматриваемых проектов А и В.

Проект А:

%

Проект В:

%

Как видим, для второго проекта с вероятностью 68,26% можно ожидать величину доходности IRR = 20% ± 3,5%, т.е. от 16,5% до 23,5%. Риск здесь минимальный. Проект А гораздо более риско­ванный. С вероятностью 68,26% можно получить доходность от -29,5% до 69,5%. Считается, что среднерискованной операции соответствует значение s около 30%.

В рассмотренном примере распределение вероятностей пред­полагалось известным заранее. Во многих ситуациях бывают дос­тупны лишь данные о том, какой доход приносила некая финан­совая или хозяйственная операция в предыдущие годы.

С позиции развиваемых представлений проанализируем рассмотренный в самом начале темы пример 1.

Рассчитаем, например, дисперсию доходности проекта 2 по данным табл. 3.1. Нам известно, что ожидаемая доходность проекта, равна 12.0%. Следовательно, дисперсия равна

= (-2,0 – 12,0)²0,05 + (9,0 – 12,0)²0,20 + (12,0-12,0)²0,50 +

+(15,0-12,0)²0,20 + (26,0-12,0)²0,05 = 23,20,

а среднее квадратическое отклонение доходности проекта 2 – s = 4,82%

Используя этот показатель в качестве меры разброса, можно сделать ряд полез­ных выводов о распределении исходов. В частности, если распределение явля­ется непрерывным и близким к нормальному, можно утверждать, что 68.3% всех исходов лежит в пределах одного среднего квадратического отклонения от ожидаемого значения, 95.4% — в пределах двух средних квадратических отклонений и практически все исходы (99.7%) — в пределах трех средних ква­дратических отклонений.

В табл. 3.3 приводятся ожидаемые значения доходности, дисперсия и сред­нее квадратическое отклонение по всем четырем альтернативным вариантам ин­вестирования примера 1, а также коэффициент вариации, который мы рассмотрим в сле­дующем разделе. Мы видим, что ГКО-ОФЗ обладают наименьшими значениями показателей дисперсии и среднего квадратического отклонения, а проекту 2 соответствуют наибольшие их значения.

По данным табл. 3.3 можно, казалось бы, прийти к заключению, что казна­чейские векселя — наименее рисковый вариант инвестирования, а проект 2 — наиболее рисковый. Однако это не всегда верно; перед тем как сделать оконча­тельный вывод, необходимо принять во внимание ряд других факторов, таких как численные значения ожидаемой доходности, асимметрия распределения, до­стоверность наших оценок распределения вероятностей и взаимосвязь каждого актива с другими активами, включенными в портфель инвестиций.

Таблица 3.3

Оценка доходности и риска четырех альтернативных вариантов

инвестирования

Показатель	Варианты инвестирования
ГКО-ОФЗ	корпоративные ценные бумаги	проект 1	проект 2
1. Ожидаемая доходность, % 2. Дисперсия 3. Среднее квадратическое отклонение, % 4. Коэффициент вариации	8.00 0.00 0.00 0.00	9.20 0.71 0.84 0.09	10.30 19.31 4.39 0.43	12.00 23.20 4.82 0.40

Вопрос 3. Достаточно ли отчетливо Вы представляете себе, как учитывать асимметрию распределения вероятностей?

Если «да», изучайте материал далее, если «нет» – обратитесь к справке 3.

Спрака 3. Анализируя риск, логично сосредоточиться в основном на вероятностях тех значе­ний доходности, которые меньше ожидаемого значения, а не на тех, которые его пре­вышают. Если распределение является симметричным, и дисперсия и среднее квадрати­ческое отклонение будут точно измерять риск получения доходности ниже ожидаемого значения, который составляет ровно половину общего риска. Однако если распределе­ние асимметрично, эти показатели неверно отражают действительный риск. Если рас­пределение обладает правосторонней асимметрией, дисперсия и среднее квадратическое отклонение завышают риск получения доходности ниже ожидаемого значения, а если распределение имеет левостороннюю асимметрию, наблюдается противоположная ситуа­ция. Статистической характеристикой, элиминирующей эти искажения, является полу­дисперсия (semivariance, SV), которая определяется по формуле

, (3.3)

где т — множество исходов, которые лежат ниже ожидаемого значения. Рассмотрим, например, возможность покупки корпоративных ценных бумаг (табл. 3.1). Учитывая, что их ожидаемая доходность составляет 9.2%, рассчитаем полудисперсию в соответствии с формулой (3.3)

SV = (8,0 – 9,2)0,5² + (8,5 – 9,2)²0,20 + (9,0 – 9,2)²0,50 = 0,19.

Показатели полудисперсии четырех вариантов инвестирования, перечисленных в табл. 2.1, имеют следующие значения: 0,00; 0,19; 12,54 и 11,60. Если распределение симметрично, то полудисперсия составляет половину дисперсии. Это верно для проекта 2. Однако полудисперсия проекта 1 составляет более половины дисперсии — поскольку рас­пределение доходности проекта 1 имеет левостороннюю асимметрию, его дисперсия зани­жает риск получения доходности ниже ожидаемого значения. Полудисперсия корпоративных ценных бумаг меньше половины дисперсии — поскольку распределение доходности имеет правостороннюю асимметрию, его дисперсия завышает риск получения доходности ниже ожидаемого значения. Финансовая статистика, как правило, недостаточно точна, чтобы применять к ней высокоточные аналитические методы, а большинство распреде­лений, которые мы рассматриваем, близко к симметричным, поэтому мы остановимся на дисперсии и среднем квадратическом отклонении как мерах разброса.