Среднее арифметическое

Понятие среднего значения используется для описания разнообразных явлений природы и общественной жизни. Так, говорят о средней температуре воздуха, средней скорости движения, средней зарплате, средней продолжительности жизни и т.д. В науке и технике на основе взаимоотношений между средними величинами изучают и рассчитывают всевозможные проекты, в экономике — оптимальные планы, в военном деле — возможные стратегии и основанные на них военные доктрины, в общественной жизни — прогнозы общественно-политической ситуации. Например, во время предвыборной кампании службы по изучению общественного мнения составляют прогнозы, в которых оценивают шансы на успех различных кандидатов. Ясно, что провести опрос всех избирателей невозможно, поэтому проводят опрос небольшой части населения. По результатам опроса прогнозируют средние проценты популярности кандидатов у различных социальных групп и в разных регионах. Если обработка результатов опроса проведена математически грамотно, то выводы будут достаточно точно отражать реальную ситуацию.

Средней величиной обычно называют среднее арифметическое.

Пусть х₁, х₂,..., х_п — некоторые числа. Их средним арифметическим называется число

Пример 1. По сведениям автоинспекции, количество дорожных происшествий на улицах города Дрюкова в первую декаду октября было таким:

6 8 10 7 6 11 9 8 7 11.

Среднее арифметическое этих чисел

показывает среднее число дорожных происшествий в день.

В сводке за следующие 10 дней оказались такие данные:

0 5 7 7 12 11 14 13 7 6.

Их среднее арифметическое будет

Мы видим, что средние значения (8,2 и 8,3) отличаются друг от друга значительно меньше, чем число происшествий за каждый день, которое может быть 0, 5, 7,..., 14. Поэтому среднее число дорожных происшествий можно прогнозировать, причем достаточно точно.

Этот факт подтверждается и отчетами ГАИ за много лет. Из них видно также, что чем больше срок, за который составляется отчетность (декада, месяц, квартал, год, пятилетка), тем средняя величина устойчивее. Иными словами, среднее число происшествий за декаду колеблется меньше, чем число происшествий за каждый день; среднее число происшествий за месяц колеблется еще меньше, и так далее.

Описанное свойство средних представляет собой одно из важнейших проявлений Закона Больших Чисел, открытого знаменитым русским математиком П. Л. Чебышевым.

Если таблица исходных данных содержит несколько десятков чисел, то составляют более сложную таблицу, в которой для каждой из величин указывают, сколько раз она наблюдалась.

Пример 2. УВД города Дрюкова опубликовало сводку о числе правонарушений, совершенных подростками за первые 20 дней сентября: 8 6 13 4 13 13 12 9 7 6 12 14 13 12 17 6 8 12 7 12.

По этим данным составлена следующая таблица:

Таблица 1

m1

Здесь m₁ — число дней с одним и тем же количеством правонарушений, x₁ — число правонарушений за день. Из таблицы видно, например, что был всего 1 день, в течение которого произошло ровно 4 правонарушения; в течение трех дней было по 6 правонарушений и т.д. Заметьте, что в первой строке числа расположены в порядке возрастания, а если сложить все числа второй строки, то получится общее число дней, т.е. 20.

Конечно, средние величины могут различаться, и довольно значительно. Например, количество дорожных происшествий зависит от погоды, времени года, солнечной активности и от многих других факторов. Однако свойство средних величин состоит в том, что различие между ними все-таки меньше, чем различие между исходными данными.

Согласно приведенным данным, среднее число правонарушений за один день будет

Таким образом, формулу (1) для подсчета среднего арифметического можно записать так:

Здесь — различные среди заданных n чисел, причем значение встречается m₁ раз, значение повторяется т₂ раз, и так далее, наконец, значение встречается т_k раз. При этом

m₁ + m₂ + … + m_k = n

Табл. 1 можно переписать так, чтобы в ней не содержалась информация о числе дней, в течение которых проводились наблюдения. Заменим в табл. 1 вторую строку на новую, которую составим так: вместо числа дней поставим долю, которую это число составляет от числа всех дней. Эта доля называется частотой. Так как число всех дней 20, то 1 заменим на 1/20 = 0,05, 3 — на 3/20 = 0,15 и т.д. В результате табл. 1 примет следующий вид:

Таблица 2

	0,05	0,15	0,10	0,10	0,05	0,25	0,20	0,05	0,05

Как и в табл. 1, в первой строке указано число правонарушений за день, а во второй — соответствующая частота. Сумма чисел, стоящих во второй строке, равна единице. Это свойство следует из определения частоты.

Используя понятие частоты, мы можем подсчитать среднее значение [см. (2)] иным способом:

= 4•0,05+6•0,15+7•0,10+8•0,10+9•0,05+12•0,25+13•0,20+14•0,05+17•0,05

Таким образом, среднее арифметическое равно сумме произведений чисел, взятых из первой строки табл. 2, на их частоты.

Преобразуем таким же способом формулу (3). Введем частоты

...

В результате формула (3) для среднего арифметического запишется так:

(4)

Преимущество этой формулы, по сравнению с формулой (3), состоит в том, что ей можно пользоваться и в том случае, когда не известны величины т₁, m₂,... т_k и n, но известны значения частот.

Пример 3. В городе Дрюкове каждому пассажиру междугороднего автобуса вручают страховой полис на 50 000 руб., взимая за это 500 руб. Какова средняя прибыль страховой компании от продажи одного полиса, если несчастные случаи происходят в среднем с одним пассажиром из 10 000? Учтите, что по правилам страховых компаний города Дрюкова страховка выплачивается только в случае гибели пассажира.

Решение. Прибыль может принимать два значения: 500 руб., если несчастного случая не произошло, и -49 500 руб. при автокатастрофе (знак «минус» означает, что компания терпит убыток). Прибыль -49 500 руб. рублей появляется в одном случае из 10 000, следовательно, частота этого значения прибыли равна 0,0001. Частота другого значения — 500 руб. равна 0,9999. Получаем следующую таблицу:

Прибыль		-49500
Частота	0,9999	0,0001.

Среднее значение прибыли найдем по формуле (4):

= 500 0,9999 + (-49500) 0,0001 = 499,95-4,95 = 495 (руб.).