Понятие и определение предиката

Определение 1. Одноместным предикатом называется произвольная функция переменной , определенная на некотором множестве и принимающая значения из множества .

Множество , на котором определен предикат , называется областью определения предиката.

Множество всех элементов , при которых предикат принимает значение “истина”, называется множеством истинности этого предиката. Символически множество истинности предиката записывают так: . Эта запись означает, что множество состоит из элементов, обладающих свойством, указанным после двоеточия.

Так, предикат – “ – составное число” определен на множестве (всех натуральных чисел), а множество для него есть множество всех составных чисел.

Другой предикат − “диагонали параллелограмма перпендикулярны” определен на множестве всех параллелограммов, а его множеством истинности является множество всех ромбов.

Нетрудно заметить, что приведенные примеры одноместных предикатов выражают свойства предметов.

Определение 2.Предикат , определенный на множестве , называется тождественно истинным (тождественно ложным), если .

Обобщением понятия одноместного предиката является понятие -местного предиката, с помощью которого выражается отношение между предметами. Так, примером бинарного отношения (отношение между двумя предметами) является отношение “меньше”. Пусть это отношение рассматривается на множестве целых чисел. Тогда оно может быть охарактеризовано высказывательной формой “ ”, где , т.е. является функцией двух переменных , определенной на множестве с множеством значений .

Здесь множество является частным случаем декартова произведениядвух множеств и .

Определение 3. Двухместным предикатом называется функция двух переменных и , определенная на множестве и принимающая значение из множества . Примерами двухместных предикатов являются: предикат равенства ─ “ ”, определенный на множестве действительных чисел , предикат делимости нацело ” ”, определенный на множестве .

Таким образом, предикат – это функция или, как мы уже говорили выше, высказывательная форма. Если, например, в высказывательную форму мы подставим вместо и какие-то конкретные значения, то высказывательная форма становится высказыванием, принимающим вполне определенные значения истины или лжи (1 или 0). Так, есть предикат (высказывательная форма), но уже является истинным высказыванием, а − ложным высказыванием. В то же время является высказывательной формой (предикатом), так как его значение истинности зависит от того, каким натуральным числом будет заменена переменная (т.е. является функцией от , а значит, предикатом). В то же время является высказыванием, причем истинным, так как любое делится на единицу.