Аппроксимация функций полиномами. Интерполяционный многочлен Лагранжа

Табличный способ задания функций обычно возникает в результате эксперимента. Недостаток табличного задания функции заключается в том, что найдутся значения переменных, которые не определены таблицей. Для отыскания таких значений определяют приближающуюся к заданной функцию, называемой аппроксимирующей.

Аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию φ(х) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку и погрешность такой замены.

Если для табличной функции y=f(x), имеющей значение x₀ f(x₀) требуется построить аппроксимирующую функцию j(x) совпадающую в узлах с x_i c заданной, то такой способ называется интерполяцией

Интерполяция - нахождение значения таблично заданной функции в тех точках внутри данного интервала, где она не задана.

При интерполяции, заданная функция f(x) очень часто аппроксимируется с помощью многочлена, имеющего общий вид

j(x)=p_n(x)=a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₀

В данном многочлене необходимо найти коэффициенты a_n,a_n-1, …a₀, так как задачей является интерполирование, то определение коэффициентов необходимо выполнить из условия равенства:

P_n(x_i)=y_i i=0,1,…n

Для определения коэффициентов применяют интерполяционные многочлены специального вида, к ним относится и полином Лагранжа L_n(x).

Цель задачи о приближении (интерполяции): данную функцию у(х) требуется приблизительно заменить некоторой функцией j(х) так, чтобы отклонение в заданной области было наименьшим. При интерполяции по Лагранжу требуется, чтобы интерполяционный полином проходил через все заданные точки. Интерполяционные формулы применяются, прежде всего, при замене графически заданной функции аналитической, а также для интерполяции в таблицах.