БИЛЕТ №30

Двойственная задача модели Леонтьева и ее интерпретация

Модель Леонтьева называют также моделью межотраслевого баланса. Пусть промышленность состоит из n отраслей, каждая из которых выпускает единственный продукт (чистые отрасли). Пусть i отрасль выпускает объем продукции x_i

где , x₁, x₂ – объемы производства в других отраслях

a_ij – коэффициенты прямых затрат на единицу продукции в j отрасли , где , - матрица прямых затрат

Разомкнем экономику: x=Ax+y, где y – вектор спроса , x>0, y>0

Тогда, учитывая условие неотрицательности векторов x и y, матрица А должна быть такой, чтобы обеспечить неотрицательное решение полученной системы. Если матрица А обеспечивает такое решение, то говорят, что матрица А продуктивна или модель Леонтьева продуктивна.

Условие неотрицательности вектора х можно интерпретировать как неотрицательную необратимость матрицы (Е – А). Поскольку требуется существование обратной матрицы, то она обязана быть невырожденной, элементы ее обратной матрицы неотрицательными. Последние требования эквивалентны требованию эффективности модели Леонтьева. Условие неотрицательной обратимости матрицы (Е – А) не имеет определенной экономической интерпретации, но если рассмотреть двойственную задачу, относящуюся к n отраслям при переменных ценах на продукцию p_i, для каждой отрасли:

, где вектор V – дополнительно созданная стоимость, a_ij – та же матрица прямых затрат, но транспонированная. Таким образом, если двойственная задача, решение которой неотрицательный вектор p>0, то говорят, что экономика прибыльна и одновременно модель Леонтьева продуктивна и существует неотрицательное решение задачи Леонтьева.