Тема.2. Высказывание. Пропозициональная переменная

▪ Понятие высказывания.

▪ Пропозициональные переменные.

▪Оценка пропозициональных переменных.

Объектами алгебры логики или булевой алгебры являются высказывания.

Основным (неопределяемым) понятием математической логики является понятие «простого высказывания». Под высказыванием обычно понимают всякое повествовательное предложение, утверждающее что-либо о чем-либо, и при этом мы можем сказать, истинно оно или ложно в данных условиях места и времени. Логическими значениями высказываний являются «истина» и «ложь».

Приведем примеры высказываний.

1) Новгород стоит на Волхове.

2) Париж - столица Англии.

3) Карась не рыба.

4) Число 6 делится на 2 и на 3.

5) Если юноша окончил школу, то он получает аттестат зрелости.
Высказывания 1), 4), 5) истинны, а высказывания 2), 3) ложны.

Очевидно, предложение «Да здравствуют наши спортсмены!» не является высказыванием.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение, принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказываний могут служить высказывания 1) и 2).

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью грамматических связок «не», «и», «или», «если..., то...», «тогда и только тогда», принято называть сложными или составными. Так, высказывание 3) получается из простого высказывания «Карась - рыба» с помощью отрицания «не», высказывание 4) образовано из элементарных высказываний «Число 6 делится на 2», «Число 6 делится на 3», соединенных союзом «и». Высказывание 5) получается из простых высказываний «Юноша окончил среднюю школу», «Юноша получает аттестат зрелости» с помощью грамматической связки «если..., то...». Аналогично сложные высказывания могут быть получены из простых высказываний с помощью грамматических связок «или», «тогда и только тогда».

В алгебре логики все высказывания рассматриваются только с точки зрения их логического значения, а от их житейского содержания отвлекаются. Считается, что каждое высказывание либо истинно, либо ложно и ни одно высказывание не может быть одновременно истинным и ложным.

В дальнейшем будем элементарные высказывания обозначать малыми буквами латинского алфавита: х, у, z,..., а, b, с,...; истинное значение высказывания - буквой и или цифрой 1, а ложное значение - буквой л или цифрой 0.

Если высказывание а истинно, то будем писать a=1,a если а ложно, то а=0.

Всякое высказывание или истинно, или ложно; быть одновременно и тем и другим оно не может. Проиллюстрируем сказанное задачей-шуткой.

В одной сказочной стране злой царь приговорил к смерти богатыря. Последней просьбой осужденного было желание предоставить ему возможность;выбрать только два вида казни: смерть через повешение или отсечение головы; если же такой вид казни невозможен, то его должны освободить. Осужденный добавил, что он произнесет одно предложение (высказывание); если оно окажется ложным, пусть его повесят; если оно окажется истинным, пусть ему отрубят голову. Царь, конечно, согласился. Осужденный произнес только одно высказывание: «Меня повесят» — и царь вынужден был его освободить. Подумайте, почему это произошло.

В естественном языке высказывания выражаются повествовательными предложениями. Восклицательные и вопросительные предложения высказываниями не являются.

Переменные, являющиеся переменными вида «высказывание» называют «высказывательными переменными». В специальной литературе их называют также «пропозициональными переменными». Кроме пропозициональных переменных никакие другие нами использоваться не будут. Поэтому, для краткости, мы будем просто говорить «переменная».

Поскольку вместо пропозициональных переменных могут быть представлены конкретные высказывания, а высказывания имеют вполне определенные истинностные значения, то пропозициональным переменным непосредственно могут быть поставлены в соответствие сами эти истинностные значения. Такое соответствие называется оценкой пропозициональных переменных. Для n-переменных количество оценок составляет .