Формула полной вероятности в дискретном и непрерывном случае. Формула Байеса

Бейеса теорема (в теории вероятностей), одна из основных теорем элементарной теории вероятностей. Названа по имени установившего её английского математика

Т. Бейеса.

Пусть A1, A2,..., An — некоторые попарно несовместимые события, хотя бы одно из которых обязательно наступает, и В — некоторое событие. Тогда, согласно Б. т., условная вероятность Ак при условии, что наступило В, может быть определена по формуле:

P(A/B) = (P(B/A)P(A)) / (P(B))

Р(А) априорная вероятность гипотезы А (смысл такой терминологии см. ниже);
Р(А/В) вероятность гипотезы А при наступлении события В (апостериорная вероятность);
Р(В/А) вероятность наступления события В при истинности гипотезы А;
Р(В) вероятность наступления события В.
Пусть событие А может наступить при условии появления одного из несовместных событий В₁, В2, …, Вn, образующих полную группу. Поскольку заранее не из­вестно, какое из этих событий наступит, их называют гипотезами. Вероятность появления события А опреде­ляется но формуле полной вероятности:

P(A)=P(B1)*PB1(A)+ P(B2)*PB2(A)+…+P(Bn)*PBn(A) (*)

Допустим, что произведено испытание, в результате которого появилось событие A Поставим своей задачей определить, как изменились (в связи с тем, что собы­тие А уже наступило) вероятности гипотез. Другими словами, будем искать условные вероятности

Ра(В1), РА(В2),..., РА(Вn).

Найдем сначала условную вероятность PA(B1) По теореме умножения имеем:

P(AB1)=P(A)*PA(B1)=P(B1)*PB1(А)

Отсюда:

PA(B1) = P(B1)*PB1(A)/P(A)

Заменив здесь Р(А) но формуле (*) получим:

PA(B1) = P(B1)*PB1(A) / P(B1)*PB1(A)+ P(B2)*PB2(A)+…+P(Bn)*PBn(A)

Аналогично выводятся формулы, определяющие услов­ные вероятности остальных гипотез, т. е. условная веро­ятность любой гипотезы Bi(i=1, 2,..., п) может быть

вычислена по формуле:

PA(Bi) = P(Bi)*PBi(A) / P(B1)*PB1(A)+ P(B2)*PB2(A)+…+P(Bn)*PBn(A)

«Физический смысл» и терминология
Формула Байеса позволяет «переставить причину и следствие»: по известному факту события вычислить вероятность того, что оно было вызвано данной причиной.
События, отражающие действие «причин», в данном случае обычно называют «гипотезами», так как они предполагаемые события, повлекшие данное. Также, безусловную вероятность справедливости «гипотезы» называют «априорной» (насколько вероятна причина вообще), а условную при
произошедшем событии «апостериорной» (насколько вероятна причина оказалаcь с учетом полученных данных о событии).