Синтез оптимального управління для лінійних систем з квадратичним критерієм

Пусть объект описывается линейным уравнением

(1)

и задан критерий оптимальности

, (2)

где h (i) - известная векторная функция; F, Q (i) - симметричные неотрицательно определенные матрицы R (i) - симметричная положительно определенная матрица

Требуется найти оптимальное управление, при котором критерий (2) принимает минимальное значение при произвольном условии x(i₀)=x⁰.

Для решения задачи воспользуемся методом динамического программирования. Введем функцию Беллмана

,

.(3)

Уравнение Беллмана в этом случае принимает вид

,

из которого, используя уравнение объекта (9.1) и опуская для краткости записи аргумент i, получим

. (4)

Решение этого уравнения будем искать в виде

(5)

где k (i) - симметричная матрица; p (i) - вектор - столбец размера n; q (i) - скалярная функция.

В силу граничного условия (3) имеем:

Подставив (5) в (4), получим

(6)

Правая часть полученного соотношения как функция от управления является квадратным трехчленом, причем этот трехчлен имеет вид и является положительно определенной квадратичной формой, так как по условию R > 0 и k (i) ³0, i ₀ £ i £ i _f -1 (будет показано ниже). Поэтому указанный трехчлен имеет минимум, который достигается в стационарной точке, и последнее уравнение можно представить в виде эквивалентной системы уравнений:

(7)

Из последнего уравнения имеем

откуда после операции транспортирования получим соотношение для оптимального уравнения

(8)

где

(9)

k (i) - симметричная неотрицательно определенная матрица, определяемая следующим образом. Подставив выражение для управления и используя обозначение (9), уравнение (7) можно преобразовать к виду

Из последнего уравнения, приравняв отдельно матрицы при квадратичных и линейных относительно x членах, получим при граничном условии k(t_f)=p,

, (10)

где p (i) - вектор - столбец размером n определяется из уравнения

(11)

при граничном условии p(i_f) = 0. Приравняв в том же уравнении свободные члены, получим

. (12)

Если h (i) = 0, то p (i) = 0. Уравнение (12) при p (i) = 0 имеет единственное решение q (i) = 0, удовлетворяющее граничному условию (6). Поэтому при h = 0 функция (5) принимает вид

Из (3) следует S(x(i),i) > 0 и k(i) > 0 при любом i Î [ i ₀ , i_f ]. Так как уравнение (10), из которого находится матрица k(i) не зависит от h, то сказанное справедливо при любом h. В случае h =0 оптимальное управление имеет вид

(13)