Мой путь в науке

Прежде чем перейти к конкретному изложению, я хотел бы несколько слов сказать о себе, заняться некоторой самокритикой. Я не эрудит. Частично это может быть связано с характером образования - в то время ни научных стипендий, ни научных ставок не было, и в последующие годы научную работу мне пришлось совмещать с двумя-трема педагогическими нагрузками, тем более, что с 1930 г. я был основным кормильцем семьи. Должен сознаться, что и моя память, и способность к восприятию не намного выше среднего.
Некоторые делят математиков на математиков, которые владеют преимущественно проникающей силой, и математиков-концептуалистов. Я принадлежу ко второй категории. В целом меня мало интересовали проблемы, поставленные другими, и знаменитыми проблемами я специально не занимался. Впрочем, те концепции, которые были выдвинуты, позволили не направленным сосредоточением сил, а попутно развязать ряд известных проблем. Наконец, для моей деятельности характерным является постоянное взаимопроникновение теории и практики, относительно же практики, она нередко далеко выходит за пределы математики.
Мое поступление в университет, через определенный почти анекдотический случай, состоялось таким образом, что я приступил к занятиям лишь с середины ноября (Леонид Витальевич поступал в университет в возрасте 14 лет., поскольку для этого нужно специальное разрешение, он был уверен, что не принят, и узнал о своем зачислении студентом из следующего письма, полученного 6 ноября 1926 p.: "Повторно. Студенту ЛГУ тов. Канторовичу Л. Правление Ленинградского Госуниверситета извещает, что Вам надлежит пройти комиссию из оплаты 9 ноября 1926 г. Не появление в названный срок повлечет исключение из числа студентов без права возобновления. Одновременно сообщаем, что назначенная плата должна быть Вами внесенная не позже 9/ХІ26 г. Неуплата платы вызовет те же следствия, что и неявка на комиссию. Зав. студ. отделом..."). Потому первый курс у меня полностью пошел на учебу - необходимо было своевременно подготовить и сдать значительный комплекс предметов...
Моя научная работа началась при переходе с первого курса на второй. Многих удивляет, как это вдруг случилось, что я стал экономистом. Нужно сказать, что некоторый интерес к экономике, к экономическим решениям у меня всегда был. Например, я с большим интересом слушал лекции по политэкономии, которые нам читал на третьем курсе А. А. Вознесенский, в дальнейшем ректор университета, брат известного экономиста, председателя Госплана, члена Политбюро Н. А. Вознесенского. Я часто подходил к нему после лекций с вопросами. Марксиская теория капиталистического хозяйства, особенно в части, что относится к третьему тому "Капитала", выглядела научно стройной и содержательной. Экономика социализма, кажется, нам тогда не читалась.
Мне даже пришлось работать экономистом. После третьего курса - летом 1929 p.- мы должны были идти на практику. У математиков практика заключалась в том, чтобы считать цифры от одного десяти, скажем, облачность в геофизической обсерватории или на счетах в сберкассе. Я нашел единственное соответствующее место - работу статистиком в Ташкенте в управлении Средазводхоз (Водное хозяйство в Средней Азии, крупное управление, которое занималось проектированием и строительством систем орошения). Должности статистика не было, и я был зачтен на должность младшего экономиста. Моим руководителем была Мария Спиридонова (один из лидеров партии левых эсеров, в 1918 г. была осуждена до года лишение свободы и здесь же амнистированная, находилась в ссылке в Ташкенте, Уфе, расстрелянная в 1941 г.), что работала там, находясь в ссылке.
Половину времени я занимался изучением экономических материалов, описанием условий орошения, использования водных ресурсов и их деления. Я работал по Чу-Талаский водной системе, которая проходила через две республики - Киргизию и Узбекистан. Другую половину времени мне давали для собственных занятий - я писал некоторые параграфы из нашего с Э.?. Ливенсоном мемуара об аналитических и проектных множествах, которые были потом частично использованы.
В конце двадцатых на начала тридцатых годов в связи с потребностями индустриализации существенное расширение получила вузовская сеть. В десятки раз увеличился прием студентов, соответственно выросло число вузов. Много вузов разделились. Да, на базе Ленинградского политехнического института было создано девять индустриальных институтов. Нужно было большое количество преподавателей, в том числе и математиков. Например, сначала кафедрами математики во всех девяти институтах, которые выделились из Политехнического, заведовал Г. О. Кузьмин. Потому я по окончании университета получил семь разных предложений, так же, как и мои товарищи. Выпуски тогда были небольшими, наш выпуск состоял из десяти человек, предыдущий - из семи. Правда, в их число входили С. Л. Соболев, С. А. Христианович, С. Г. Михлин, Б. Б. Девисон, В. Н. Замятина (Фаддеева).
Будучи аспирантом университета, я одновременно работал в строительном институте, в первый год на должности ассистента, во второй - доцента, а на третьей, что совпало с досрочным окончанием аспирантуры, - профессора. Одновременно в 1932 г. я был выбран на должность профессора и заведующего кафедрой Института промышленного транспорта.
Не привожу разных анекдотических событий, которые случались в ту пору со мной. Как-то, придя на лекцию к новому потоку, я поднялся на кафедру в аудитории, которая еще не успокоилась. Немедленно пара студентов стала стягивать меня: "Садись на место! Ведь сейчас профессор придет". Часто, однако, анекдотические случаи, которые происходили на ту пору с молодыми преподавателями, пересказывались так, как будто состоялись со мной.
Строительный институт, что выделился из Политехнического, имел сильный преподавательский состав. Его возглавлял известный специалист по теории упругости и строительной механики Б. Г. Гальоркин, в которого был ряд талантливых молодых учеников, установились научные контакты. Это побуждало меня познакомиться с прикладной математикой, и в свою очередь аспиранты и молодые преподаватели технических кафедр стали в своих работах широко использовать новые численные методы, в частности и разработанные мной.
До этого же времени относится мое знакомство с О. Г. Крыловым, фигурой очень колоритной. Судостроитель и математик, он неоднократно представлял за предложением В. І. Смирнова мои работы в Докладе АН СССР. К выборам в 1929 г. он был единственным математиком в Академии наук: А. Г. Ляпунов, А. А. Марков и В. А. Стеклов умерли незадолго до этого, Я. В. Успенский был в эмиграции.
Одновременно с расширением вузовской сети было открыто и много научно-исследовательских и прикладных институтов, куда также привлекались математики. При этом наибольшая заинтересованность была не в теоретическом знании, не в математическом исследовании классических проблем, а в создании и разработке методов, которые позволяют эффективно проводить расчеты, необходимые при проектировании крупных объектов - мощных турбин, самолетов, сложных строительных сооружений.
Как я уже говорил, на выбор тем для научных занятий, вместе с внутренними интересами и математическими устремлениями, определенное влияние оказывали и внешние факторы, общая обстановка. В 1936-1937 гг., когда я заканчивал свои работы по полуупорядоченным пространствам, я почувствовал некоторое недовольство математикой. Не то, чтобы работа была неинтересной или безуспешной, но мир находился под страшной угрозой коричневой чумы - немецкого фашизма. Было ясно, что через несколько лет наступит тяжелая война, угрожающая цивилизации. И я чувствовал ответственность, понимая, что научные работники должны что-то сделать.
Обычно, мои работы по чистой и прикладной математике находили сферу применения, в том числе и в спецтематике. В то же время у меня было ясное ощущение, что слабым местом, что снижает нашу индустриальную и экономическую прочность, есть состояние экономических решений. Это была не только моя оценка. На XVIII партийной конференции, которая была посвящена вопросам совершенствования управления на предприятиях, определялось, что только от одного устранения явления штурмовщины выпуск продукции может вырасти на 20-25%. И это был далеко не единственный недостаток, что свидетельствует о несовершенстве управления экономикой.
В то время я все чаще думал об экономических вопросах, скорее, правда, на уровне дилетанта, но все же пользуясь общей интуицией. Например, мной была написанная в Верховный Совет записка о бессмысленном положении с книжной торговлей, системой тиражей и цен, которая приводила к неоправданному книжному дефициту, спекуляции, соответственно, к большим потерям государства и населения.
Перед XVIII партсъездом состоялась открытая дискуссия; можно было давать предложения, делиться рассуждениями и я тоже направил статью о крайнем искажении системы цен из-за того, что у них не отображается фондоемкость, и об убытках, которые из-за этого происходят. Напечатана она не была, но мне был присланный ответ с бюро цен Госплана, что они рассмотрели статью, и, мол, мои предложения не учитывают существующий порядок определение цен и политику цен. Одним словом, была присланная отписка.
Однако непосредственным поводом для перехода к занятиям экономикой послужил определенным образом случайный факт. Будучи профессором университета, я также заведовал отделом математики в Институте математики и механики ЛГУ (директором был В. И. Смирнов) и выполнял в связи с этим некоторые административные обязанности. Однажды ко мне за консультацией пришли несколько инженеров из лаборатории Фанерного треста с достаточно грамотно поставленной задачей. Обработка на лущильных станках разного вида материалов давала разный выход продукции. В связи с этим выход продукции из данных станков зависел от таких, казалось бы, случайных фактов, какой вид имеет сырье и какой тип лущильного станка. То же как это обстоятельство рационально использовать?
Меня эта задача заинтересовала, но все же показалась локальной, элементарной, так что я не стал, бросив все, ею заниматься. Я поставил эту задачу на обсуждение на заседании отдела математики, где были такие крупные специалисты, как Н. Г. Гюнтер, сам. И. Смирнов, Г. О. Кузьмин, В. А. Тартаковский. Все послушали, но никто не предложил решения. К кому-то из названных специалистов с этой задачей уже обращались раньше в индивидуальном порядке, кажется к Г. О. Кузьмина. Однако задача все-таки висела надо мной. Это был год моего бракосочетания, так что я был отвернут еще и этим. Летом или уже после каникул мне стали приходить в голову конкретные, в какой-то мере похожие экономические, инженерные и хозяйственные ситуации, где тоже нужное решение задачи максимизации при наличии ряда линейных ограничений.
В простом случае для одной-двух переменных такие задачи развязываются просто – достаточно перебрать все возможные крайние точки и выбрать наилучшую. Но уже, скажем, в задаче Фанерного треста при пяти станках и восьми видах материала такой перебор требует решение приблизительно миллиарда систем линейных уравнений, и было очевидно, что это нереальный путь. Я строил частичные приемы решения отдельных видов таких задач, геометрические приемы и, вероятно, впервые доложил об этой задаче в 1938 г. на октябрьской научной сессии Ленинградского педагогического института им. Герцена, причем в основном это была постановка ряда задач и некоторые рассуждения по их решению.
Универсальность подобного класса задач и их сложность к решению принудила меня заняться этим всерьез, включить свои математические знания, в частности, некоторые рассуждения из отрасли функционального анализа.
Речь идет о классе задач на экстремум, в которых точка экстремума лежит на границе данной области. Такие задачи характерные для экономики. Некоторый экономический процесс описывается двумя векторами: х Є Х - результаты процесса и у Є У - используемые ресурсы, X и У - линейные пространства.
Рассматривается множество реализованных процессов Т. Кожному текущему значению параметра t Є Т отвечает соответствующий процесс, что характеризуется расходами и результатом (хі, уі). Множество {(xt, yt): t Є T} предусматривается выпуклым, то есть, вместе с каждой парой процессов у него входит и их усреднение. Точка (xt, yt) называется экстремальным состоянием процесса, если пересечение конуса позитивных элементов с вершиной в этой точке с множеством {(xt, yt): t Є Т} пустой. С точки зрения экономики это значит, что не существует вариантов процесса, в котором и результаты были бы большими x>xt, и расходы меньше, чем в < yt.
Каждому экстремальному состоянию отвечает некоторый линейный функционал, что достигает экстремума в этой точке, - опорная плоскость, что отделяет эту точку от внутренних. Если написать какое-либо нормируемое уравнение этой гиперплоскости, то каждой точке (х, у) отвечают некоторые числа e, n, причем eх+ nу=0.
Таким образом, каждой экстремальной точке хо, уо отвечает двойственная ей система чисел e?, nо, которые можно назвать оценками отдельных координат в пространствах X и в. Этими оценками крайние точки (или экстремальные состояния) полностью характеризуются - каждому виду конечных результатов и каждому виду расходов ресурсов отвечает своя оценка. Наличие для этого варианта процесса такой системы оценок является свидетельством его экстремальности, невозможности улучшения при таких условиях, то есть, при данных ресурсах и заданных конечных результатах. Отсюда выплывает также алгоритм нахождения экстремального состояния процесса: если мы имеем некоторый вариант, пытаемся для него определить эти оценки и их не оказывается, то естественно указать путь, направление перехода к внутренним точкам, что отвечает переходу в градиентном направлении к лучшему состоянию и, таким образом, последовательными улучшениями можно дойти до нужного решения.
Я описал общую задачу. Отметим два важных частных случая, когда отображение t>(xt, yt) линейное. Если требуется найти экстремальное состояние при данных ресурсах и заданном ассортименте конечной продукции, то есть, требуется определить на луче, что выходит из поверхности данных ресурсов, крайнюю точку, то это так называемая основная производственная задача. Если же при данном конечном задании требуется получить результат с самой малой затратой ресурсов, в векторной форме или в виде их линейной комбинации, то это двойственная задача линейного программирования.
Насколько я помню, в январе 1939 г. мной был созданный метод позволяющих множителей, в котором решение самой системы в каком-то смысле заменялось, объединялось с задачей нахождения определенных множителей, оценок, которые отвечают каждому виду продукции. Созданный метод отличался объединением процессов решения прямой и двойственной задач, он был похож на алгоритм, разработанный значительно позже Данцигом, Фордом и Фулкерсоном.
Стала ясной и решаемость этих задач, и большое их распространение, потому на обсуждение моего доклада в университете были приглашенные представители промышленности. Этот доклад составил основное содержание брошюры "Математические методы организации и планирования производства" (1939). Аналогичный доклад, что относится сугубо к строительному производству, я сделал в Строительном институте. Университет в срочном порядке выпустил мою брошюру, которая была разослана 50 наркоматам (министерствам). Она распространялась лишь в нашей стране, поскольку вышла из печати уже в последние дни перед началом Второй мировой войны тиражом всего в 1 тыс. экземпляров.
Число отзывов было небольшим. Был достаточно содержательный отзыв из Наркомата путей сообщения, в котором рассматривались некоторые оптимизационные задачи, направленные на уменьшение пробега вагонов, и была позитивная рецензия на брошюру в журнале "Лесная промышленность".
В начале 1940 г. я опубликовал чисто математическую версию этой работы в Докладах АН, выраженную в терминах функционального анализа и алгебры. Однако не сделал в ней даже ссылки на свою брошюру, что вышла: учитывая международную обстановку, я не хотел, чтобы моя практическая работа была использована вне страны. В весной 1939 г. я сделал еще несколько докладов — в Политехническом институте и Доме ученых, но несколько раз встречался с возражениями, что в работе используются математические методы, а математическая школа в экономике на Западе считалась у нас в то время антимарксистской школой и использование математики в экономике рассматривалось как средство апологетики капитализма. Это вынудило меня при написании брошюры, за возможностью, избегать срока "экономический", а говорить лишь об организации и планировании производства; роль и значение позволяющих множителей пришлось дать где-то в конце второго дополнения и полуэзоповым языком.
В моей брошюре в 1939 г. был описанный широкий круг задач - размещение производства, деление работ, рациональный раскрой материалов, рассмотрены некоторые транспортные задачи и тому подобное, то есть, практически весь вокруг задач линейного программирования на низовом уровне. Дж. Данциг в книге "Линейное программирование, его обобщение и применение" (в 1963 г.), отмечает, что мной была описана почти вся область применения линейного программирования, которая была известна в США до 1960 г. Рассмотрение мной задач лишь нижнего уровня был частично связан с теми не опасными возражениями, о которых я уже говорил выше.
Одновременно, развивая модели и осмысливая их в более многомасштабных задачах планирования, я стал ясно понимать значение этих моделей для разработки принципов ценообразования, оценки эффективности, в частности, эффективности капиталовложений, то есть, в основных чертах создавалась теория линейной экономики социалистического хозяйства, выраженная математическим языком.
В какой-то мере я притронулся и к задаче нелинейного программирования, но мое внимание было сосредоточено на раскрытии понятий и количественных соотношений основных характеристик социалистической экономики, хотя были видны и возможности применения разработанного аппарата к некоторым сугубо математическим проблемам, например аппроксимации функций, но я считал, что сейчас это имеет второстепенное значение.
В то время мной был завершенный ряд неизданных статтей и рукописей на эту тему. Об этом круге прикладных проблем я докладывал в Москве, в Математическом институте, и доклад вызывал большой интерес. В частности, при решении вопросов о создании ЛВМІ (Ленинградского отделения Математического института) наличие широкого комплекса прикладных задач сыграло определенную роль - ЛВМІ был открыт в марте 1940 г.
Первой из работ в этой отрасли, выполненной в ЛВМІ, стала совместная работа по транспортной задаче с М.К. Гавуриним, что недавно защитил кандидатскую диссертацию. Эта задача у нас возникла сама собой, но вскоре мы узнали, что рациональным планированием перевозок на железнодорожном транспорте относительно вопросов перегонки порожняка и перевозок тяжелых грузов железнодорожники уже занимались, на эту тему была выданная брошюра О. Н. Толстого и были некоторые попытки внедрения этой работы со стороны соответствующего отдела Наркомата путей сообщений. Однако ни математической формулировки задачи, ни эффективного метода ее решения не было (в 1941 г. Ф. Л. Хичкок в США дал математическое описание задаче, но без ее анализа и указания путей решения).
В моей работе с Г. К. Гавуриным в развернутой форме были данные эффективные методы решения задачи (это был определенный вариант метода позволяющих множителей, но несколько специальный, под названием метод потенциалов), определенный критерий оптимальности решения; поставлены некоторые более общие задачи, которые в то время были не развязанными имеющимися математическими средствами. Был раскрытый экономический смысл этих параметров как территориальных цен для данного груза, рассматривалась и задача рационального размещения производства. В печатном виде наша работа была сильно сокращена по сравнению с рукописным вариантом, который, к сожалению, затеряно.
В январе 1941 г. эта работа была представлена на математической секции Ленинградского Дома ученых. Публикация работы встретила большие затруднения. Она была сдана в печать еще в 1940 г. в журнал "Железнодорожный транспорт", через математикобоязнь ни в нем, ни в каком-либо другом журнале напечатанная не была, несмотря на поддержку академиков А. М. Колмогорова и В. Н. Образцова, известного транспортника, генерал-директора движения И ранга.
К счастью, я сделал абстрактный вариант этой задачи - заметки о перемещении масс в компактном метрическом пространстве, в которых был критерий и метод потенциалов. В конце приводились две задачи - задача о железнодорожных перевозках (с ссылкой на нашу из Г. К. Гавуриным статью, что находилась у печати) и задача выравнивания плоскости аэродрома, которая тоже носит прикладной характер. Эта работа, опубликованная в 1942 г. русским и английским языками, была первой, из которой специалисты на Западе узнали о моих работах по линейному программированию, но это состоялось только в начале 50-х годов.
Приблизительно такая же судьба постигла и мою работу о трехмерном рациональном раскрое древесины на пиловочник наивысшей ценности. Она пролежала в редакции журнала "Лесная промышленность" до 1949 г. и только тогда вышла в свет - это был год, когда я, правда, за другие работы, получил Сталинскую премию.
В приблизительно до лета 40-ом году относится мое знакомство с В.В. Новожиловым, одним из наиболее квалифицированных экономистов-статистиков страны, что имел дореволюционное экономическое образование и хорошую математическую подготовку. Он работал в Политехническом институте и занимался задачей самого эффективного использования капиталовложений, рассматривая ее как экстремальную; математически задача не очень интересна, потому что в ней рассматривался однопараметрический случай, и задача развязывается введением одного позволяющего множителя. Но во всяком случае знание экономической теории и практический опыт у Новожилова были большими. Вообще В. В. Новожилов был экономистом широкого профиля и интересовался многими задачами. Наше знакомство состоялось по его инициативе, на которого моя брошюра произвела большое впечатление: использование нескольких позволяющих множителей позволило ему дать более широкие постановки задач, которыми он раньше занимался.
В 1940-1941 гг. нами был проведенный общий семинар в Политехническом институте при участии ряда молодых сотрудников Института, где В. В. Новожилов и я сделали серию докладов, которые относятся к описанию конкретных задач социалистической экономики. Доклады проходили с интересными дискуссиями. Мне помнится, что тогда же состоялась защита докторской диссертации В. В. Новожилова, причем главным оппонентом выступал академик 3. Г. Струмилин, который хотя и поддал резкой критике математический подход, но все же оценил высокий уровень исследования и высказался за присуждение ученой степени.
После выезда из Ленинграда в январе 1942 г. к Ярославлю, куда было переведено училище, определенным образом возобновилась регулярная деятельность - лекции и исследовательская работа. Именно в то время мной была написанная большая рукопись "Экономический расчет самого целесообразного использования ресурсов", название которой я несколько раз потому изменил. Этот труд при поддержке академика С. Л. Соболевая, что был тогда депутатом Верховной Рады РСФСР, была направлена в Госплан СССР и рассмотрена некоторыми его руководителями - В. Н. Старовским, Г. П. Косяченком, заместителем председателя Госплана, но не встретил одобрения. В то же время я доложил об этой работе в Москве в Институте экономики АН СССР на семинаре под председательством К. В. Островитянова. В обсуждении принимали участие видные экономисты - 3. В. Атлас, А. І. Ноткин и др. Нужно сказать, что и в Госплане СССР, и в Институте экономики обсуждения было временами достаточно острым. В частности, в обсуждении моей работы один из авторитетных статистиков, Бы. С. Ястремский, тогда сказал такое: "Канторович предлагает оптимум, а кто еще предлагает оптимум? Парето, любимец Муссолини".
Докладывал я свою работу и в Казани, куда в те годы были эвакуированы МИАН (Математический институт АН) и ЛОМИ. Тогда же я познакомился с некоторыми экономистами. Кое-кто осмеливался читать рукопись, но после прочтения при встрече даже сторонился меня.
Нужно сказать, что инженеры отнеслись к моей работе абсолютно иначе. Да, техническая организация, где я в то время (в 1943 г.) работал, даже выдвинула работу на Сталинскую премию. Но, поскольку эта организация не была достаточно компетентной у подобного рода вопросах, предусматривалось представить работу через Ленинградский университет. Обратились к профессору P. M. Фихтенгольца, который ознакомил с моей работой ректора ЛГУ - А. А. Вознесенского. Прозондировав почву в Москве, ректор решительно отбросил такую возможность за причиной "апологетического характера работ математического направления".
Все говорило о том, что необходимо на некоторое время оставить эти работы, поскольку их продолжение становилось опасным, и, как я узнал впоследствии, мои предположения были небезосновательными: вариант моей изоляции обсуждался всерьез. Обычно, это было жестоким ударом для меня, поскольку я возлагал большие надежды на работы в этом направлении. Некоторое время я даже находился в состоянии депрессии - стал сомневаться, смогу ли успешно заниматься наукой, ведь экономико-математические работы необходимо было отложить, а в математике я за это время отстал.
В последние месяцы войны я с училищем, в котором работал, вернулся в Ленинград и сразу же возобновил свою работу в университете; с ЛОМИ было тяжелее, поскольку ощущение И. М. Виноградова - директора института, ко мне явно изменилось.
Интересно, что в середине 50-х годов мои работы снова были направлены в Госплан СССР и к другим хозяйственным органам и были приняты почти так, правда, возможно, не так жестко.