Продуктивные модели Леонтьева

(13)

В этом случае модель Леонтьева, определяемая матрицей А, тоже называется продуктивной.

Итак, модель Леонтьева продуктивна, если любой вектор ³0конечного потребления можно получить при валовом выпуске ³0.

Нижеследующая теорема 1 показывает, что нет необходимости требовать существования решения ³0 уравнения (9.1) для любого вектора ³0. Достаточно, чтобы такое решение существовало хотя бы для одного вектора ³ 0.

Условимся в дальнейшем писать ³0 и называть вектор положительным, если все компоненты этого вектора строго положительны.

Заметим, что на самом деле > 0, что следует из ^*= А ^* + ^* и А ³ 0, ^*³ 0, ^* ³0.

Уравнение Леонтьева (9.1) можно записать следующим образом:

(Е - А) = , (9.4)

где Е - единичная матрица.

Возникает, естественно, вопрос об обращении матрицы Е - А.

Понятно, что если обратная матрица (Е - А) ^-1существует, то из (9.4) вытекает

(Е - А)^-1 (9.5)

Следующая теорема дает более эффективное условие продуктивности, чем теорема 9.1