Рязань 2010

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

Высшего профессионального образования

«Рязанский государственный университет имени С.А. Есенина»

УРАВНЕНИЯ

МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Индивидуальные задания

ЧАСТЬ 5

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

СПРАВОЧНЫЕ МАТЕРИАЛЫ

Рязань 2010

Задача 61. Решить параболическое уравнение методом конечных разностей.

, , , , , .

В вариантах 1 – 9 использовать формулу:

, .

61.1. , , .

61.2. , , .

61.3. , , .

61.4. , , .

61.5. , , .

61.6. , , , .

61.7. , , , .

61.8. , , , .

61.9. , , , .

В вариантах 10 – 13 использовать формулу:

, .

61.10. , , , .

61.11. , , , .

61.12. , , , .

61.13. , , , .

В вариантах 14 – 18 использовать формулу:

, .

61.14. , , , .

61.15. , , , .

61.16. , , , .

61.17. , , , .

61.18. , , , .

В вариантах 19 – 21 использовать формулу:

, .

61.19. , , .

61.20. , , .

61.21. , , .

В вариантах 22 – 25 использовать формулу:

, .

61.22. , , , .

61.23. , , , .

61.24. , , , .

61.25. , , , .

В вариантах 26 – 30 использовать формулу:

, .

61.26. , , .

61.27. , , .

61.28. , , .

61.29. , , .

61.30. , , , .

61.31.

Задача 62. Решить гиперболическое уравнение методом конечных разностей.

, , , , .

В вариантах 1 – 5 использовать формулы:

, , .

62.1. , , , .

62.2. , , , .

62.3. , , , .

62.4. , , , .

62.5. , , , .

В вариантах 6 – 30 использовать формулы:

, , .

62.6. , , , .

62.7. , , , .

62.8. , , , .

62.9. , , , .

62.10. , , , .

62.11. , , , , .

62.12. , , , , .

62.13. , , , , .

62.14. , , , , .

62.15. , , , , .

62.16. , , , , .

62.17. , , , , .

62.18. , , , , .

62.19. , , , , .

62.20. , , , , .

62.21. , , , , .

62.22. , , , , .

62.23. , , , , .

62.24. , , , , .

62.25. , , , , .

62.26. , , , , .

62.27. , , , , .

62.28. , , , , .

62.29. , , , , .

62.30. , , , , .

62.31.

Задача 63. Используя условие задачи 61, решить параболическое уравнение, применяя неявную разностную схему .

Задача 64. Применяя метод сеток, найти решение уравнения Лапласа в точках p, q, r, s квадрата при краевых условиях, указанных на рисунке.

64.1. , .

64.2. , .

64.3. , .

64.4. , .

64.5. , .

64.6. , .

64.7. , .

64.8. , .

64.9. , .

64.10. , .

64.11. , .

64.12. , .

64.13. , .

64.14. , .

64.15. , .

64.16. , .

64.17. , .

64.18. , .

64.19. , .

64.20. , .

64.21. , .

64.22. , .

64.23. , .

64.24. , .

64.25. , .

64.26. , .

64.27. , .

64.28. , .

64.29. , .

64.30. , .

64.31.

Задача 65. Используя метод сеток, составить решение уравнения Лапласа с заданным граничным условием на контуре .

65.1. , .

65.2. , .

65.3. , .

65.4. , .

65.5. , .

65.6. , .

65.7. , .

65.8. , .

65.9. , .

65.10. , .

65.11. , .

65.12. , .

65.13. , .

65.14. , .

65.15. , .

65.16. , .

65.17. , .

65.18. , .

65.19. , .

65.20. , .

65.21. , .

65.22. , .

65.23. , .

65.24. , .

65.25. , .

65.26. , .

65.27. , .

65.28. , .

65.29. , .

65.30. , .

65.31.

4. Справочный материал:

1) Задача Штурма-Лиувилля:

- дифференциальное уравнение

- граничные условия .

Разыскиваются значение параметра (собственные числа), при которых существуют ненулевые решения дифференциального уравнения, удовлетворяющие граничным условиям, а также и сами ненулевые решения (собственные функции).

Рассматриваются и задачи Штурма-Лиувилля с граничными условиями вида

2) Смешанная задача для волнового уравнения на отрезке c однородными граничными условиями:

- дифференциальное уравнение ;

- начальные условия

-граничные условия .

Рассматриваются также однородные граничные условия следующих видов:

Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде

где - собственные функции задача Штурма-Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиям;

- собственные числа задачи Штурма-Лиувилля; , - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

Смешанная задача для неоднородного волнового уравнения

Ее решение можно получить в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

где - решения задачи Коши

коэффициенты разложений

,

4) Смешанная задача для уравнения теплопроводности на отрезке с однородными граничными условиями:

- дифференциальное уравнение ;

- начальное условие

- граничные условия

или одно из

Решение этой задачи по методу Фурье получается в виде

,

где - собственные функции задачи Штурма – Лиувилля с условиями, соответствующими рассматриваемым граничным условиями;

- собственные числа задачи Штурма-Лиувилля; - коэффициенты, определяемые по начальным условиям.

Смешанная задача для неоднородного уравнения теплопроводности

.

Ее решение можно получить в виде разложения по собственным функциям задачи Штурма-Лиувилля

где - решение задачи Коши

- коэффициенты разложений