Исследование функций и построение графиков

Найти интервалы монотонности функций:

5.389. y = x 4+8 x 3+5.	5.390. .	5.391. .
5.392. .	5.393. .	5.394. y =ln(1+ x 2)– x.
5.395. y =– x 3ln x.	5.396. y = xe –5 x.

Исследовать на экстремум следующие функции:

5.397. y = x 3–3 x 2–24 x +7.	5.398. y =(x +1)3(5+ x).
5.399. .	5.400. .
5.401. .	5.402. .
5.403. .	5.404. y =(x 2–8) ex.
5.405. .	5.406. y = x ln x.
5.407. y =cos2 x –2cos x.

Найти наибольшее и наименьшее значения функций на указанных промежутках:

5.408. y =–3 x 2+4 x –8, x Î[0,1].	5.409. y = x 3+3 x 2–9 x –7, x Î[– 4,3].
5.410. y = , x Î[–4,4].	5.411. , x Î(–¥,¥).
5.412. y = x ln2 x, x Î[1/ e, e ].	5.413. y =arccos x 2, x Î .
5.414. y =1/cos x, x Î[p/2,(3p)/2].	5.415. y =ln x –2arctg x, x Î[1,¥].

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений функций.

5.416. Разность двух чисел равна 13. Каковы должны быть числа, чтобы их произведение было наименьшим?

5.417. Из куска проволоки длиной 30 см требуется согнуть прямоугольник наибольшей площади. Каковы размеры этого прямоугольника?

5.418. Из круглого бревна диаметра d вырезать балку прямоугольного сечения так, чтобы площадь сечения была наибольшей.

5.419. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет постоянную заданную длину и составляет с плоскостью основания угол a. При каком значении a объем пирамиды является наибольшим?

5.420. Окно имеет форму прямоугольника, завершенного полукругом. Периметр окна равен p. Каковы должны быть размеры окна, чтобы оно пропускало наибольшее количество света?

5.421. От канала шириной а под прямым углом к нему отходит канал шириной b. Стенки каналов прямолинейны. Найти наибольшую длину бревна l, которое можно справлять по этим каналам из одного в другой.

5.422. Картина в 1,4 м высотой повешена на стену так, что ее нижний край на 1,8 м выше глаза наблюдателя. На каком расстоянии от стены должен встать наблюдатель, чтобы его положение было наиболее благоприятным для осмотра картины (т.е. угол зрения должен быть наибольшим)?

5.423. Три пункта A, B, C расположены не на одной прямой, Ð ABC =60°. Из точки А выходит автомобиль, а одновременно из точки B поезд. Автомобиль движется по направлению к B со скоростью 80км/ч; поезд по направлению к C со скоростью 50км/ч. В какой момент времени (от начала движения) расстояние между поездом и автомобилем будет наименьшим, если AB =200 км?

5.424. Миноносец стоит на якоре в 9 км от ближайшей точки берега; с миноносца нужно послать гонца в лагерь, расположенный в 15 км, считая по берегу от ближайшей к миноносцу точки берега (лагерь расположен на берегу). Если гонец может делать пешком по 5 км/ч, а на веслах по 4 км/ч, то в каком пункте берега он должен пристать, чтобы попасть в лагерь в кратчайшее время?

5.425. Завод A стоит от железной дороги, идущей с юга на север и проходящей через город B, считая по кратчайшему расстоянию, на a км. Под каким углом j к железной дороге следует построить подъездной путь от завода, чтобы транспортировка грузов из A в B была наиболее экономичной, если стоимость провоза одной тонны груза на расстоянии 1 км составляет по подъездному пути p рублей, по железной дороге g рублей, (p > g) и город B расположен в b км севернее завода A.

5.426. Требуется изготовить открытый цилиндрический бак вместимостью V. Стоимость 1м² материала, из которого изготавливается дно бака, составляет p ₁ рублей, а стоимость 1м² материала, идущего на стенки бака – p ₂ рублей. При каком отношении радиуса дна к высоте бака затраты на материал будут минимальными?

5.427. Бревно длиной 20м имеет форму усеченного конуса, диаметры оснований которого 2м и 1м. Требуется вырубить из бревна балку с квадратным поперечным сечением, ось которой совпадала бы с осью бревна, и объем которой был бы наибольшим. Каковы должны быть размеры балки?

Найти точки перегиба и интервалы выпуклости, вогнутости графиков данных функций:

5.428. .	5.429. .	5.430. .
5.431. .	5.432. .	5.433. .
5.434. .	5.435. .	5.436. .
5.437. .	5.438. .	5.439. .

Найти асимптоты данных функций:

5.440. .	5.441. .	5.442. .
5.443. .	5.444. .	5.445. .
5.446. y = .	5.447. y = .	5.448. y = .
5.449. y = +2 x.	5.450. y = xe – x –2.	5.451. .
5.452. y =ln(1– x 2).	5.453. y = x arctg x.	5.454. y = .
5.455. y = xe (1/ x).	5.456.	5.457.

Провести полное исследование функций и построить их графики:

5.458. y = x (x –1)3.	5.459. y = x 4–2 x 2+3.	5.460. y = x 2+(1/ x 2).
5.461. y = .	5.462. .	5.463. y = .
5.464.	5.465.	5.466.
5.467. y = –2 x.	5.468. y = .	5.469. .
5.470. y = .	5.471. y = .	5.472. .
5.473. .	5.474. .	5.475. .
5.476. y = .	5.477. y = .	5.478. .
5.479. y = .	5.480. .	5.481. .
5.482. y = x 2ln x.	5.483. y = x +ln(x 2–4).	5.484. y =ln(4– x 2).
5.485. y = .	5.486. y = x 2–2ln x.	5.487. y =arcsin .
5.488. y = x arctg x.	5.489. y = xx.	5.490. y =sin x +cos x.
5.491. y = .	5.492. , t Î R.	5.493. , t Î R
5.494.	5.495. .	5.496. .
5.497. .	5.498. (x 2+ y 2)2=2 a 2 xy.	5.499. (x 2+ y 2)3=4 a 2 x 2 y 2.

5.500. (x + y)²= a (x – y).

Используя формулу Тейлора, выяснить поведение данных функций в указанных точках:

5.501. y =2 x ⁶– x ³+3 в точке x =0.

5.502. y = x ¹¹+3 x ⁶+1 в точке x =0.

5.503. y =2cos x + x ² в точке x =0.

5.504. y =6ln x –2 x ³+9 x ²–18 x в точке x =1.

5.505. y =6sin x + x ² в точке x =0.

5.506. y =24 e^x –24 x –12 x ²–4 x ³– x ⁴–20 в точке x =0.