Логарифмическое дифференцирование, дифференцирование функций, заданных неявно и параметрически

Найдите производные от следующих функций:

5.161. y = .	5.162. y = .
5.163. y = .	5.164. y = .
5.165. y = .	5.166. y = .
5.167. y = х 6(х 2+1)10(х 3+1)5.	5.168. y = .
5.169. y = .	5.170. y = .
5.171. y = .	5.172. y = .
5.173. y = .	5.174. y = .
5.175. y = .	5.176. y = .
5.177. y = .	5.178. .
5.179. .	5.180.
5.181. y = .	5.182. y = .

В задачах 5.183-5.204 найти производные от функций у, заданных неявно:

5.183. .	5.184. .
5.185. .	5.186. .
5.187. .	5.188. .
5.189. .	5.190. .
5.191. .	5.192. .
5.193. .	5.194. .
5.195. .	5.196. .
5.197. .	5.198. .
5.199. .	5.200. .
5.201. .	5.202. .
5.203. .	5.204. .

5.205. Убедиться в том, что функция, определенная уравнением , удовлетворяет также соотношению .

Найти производные y ¢ заданных функций у в указанных точках:

5.206. (x + y)³=27(x – y) при x =2, y =1

5.207. y e^y = e^{x +1} при x =0, y =1

5.208. y ²= x +ln при x =1, y =1

найти производную y ¢= для функций у, заданных параметрически:

5.209.	5.210.
5.211.	5.212.
5.213.	5.214.
5.215.	5.216.
5.217.	5.218
5.219.	5.220.
5.221.	5.222.

5.223. Вычислить при t = если .

5.224. Вычислить при t =1, если .

5.225. Найти при t = если .

5.226. Доказать, что функция у, заданная параметрически уравнениями удовлетворяет уравнению у = .

Дифференциал. Дифференцируемость функции

5.227. Найти приращение D у и дифференциал dy функции y = x ²– x +1

при х =3 и D х =0,01. Каковы абсолютная и относительная погрешности, которые получаются при замене приращения функции ее дифференциалом?

5.228. Найти приращение и дифференциал функции y = при х =9 и D х =0,2. Вычислить абсолютную и относительную погрешности, которые получаются при замене приращения функции ее дифференциалом?

5.229. Найти приращение и дифференциал функции y = при х =2 и D х =0,01. Найти абсолютную и относительную погрешности при замене приращения функции ее дифференциалом.

5.230. На сколько (приблизительно) увеличилось ребро куба, если объем его изменился с 27 м³ до 27,2 м³?

В задачах 231-238 найти дифференциалы функций для произвольных значений аргумента.

5.231. .	5.232. .	5.233. .
5.234. .	5.235. .	5.236. .
5.237. у = .	5.238. .

5.239. Площадь квадрата S со стороной x равна S = x ². Найти приращение и дифференциал этой функции и выяснить геометрическое значение последнего.

5.240. Дать геометрическую интерпретацию приращения и дифференциала следующих функций: а) площадь куба S =p x ², б) объем куба u= х ³.

5.241. Показать, что при D х ®0 приращение функции y =2 ^x, соответствующее приращению х на величину ее D х, при любом х эквивалентно выражению 2 ^х ×D х ×ln2.

В задачах 5.242-5.253 найти приближенные значения заданных выражений:

5.242. .	5.243. е 0,2.	5.244. cos320	5.245. tg44052¢
5.246. 0,963.	5.247. lg10,08.	5.248. arcsin0,48	5.249. ln1,01
5.250. .	5.251.	5.252. .
5.253.

5.254. Функция у =| x | непрерывна при любом х. Убедится, что при х =0 она недифференцируема.

5.255. Исследовать непрерывность и дифференцируемость функции у =| x ³| при х =0.

5.256. Функция у =|sin x | непрерывна при любом х. Убедится, что при х =0 она недифференцируема. Имеются ли другие значения независимой переменной, при которых функция недифференцируема?

5.257. Исследовать непрерывность и дифференцируемость функции y = e ^{–| x |} при х =0.

5.258. f (x)= x ²sin при , f (0)=0. Будет ли функция f (x) дифференцируема при х =0?

5.259. при , f (0)=0. Будет ли функция f (x) при х =0 непрерывной и дифференцируемой?

5.260. при , f (0)=0. Будет ли функция f (x) при х =0 непрерывной? Дифференцируемой? Истолковать результат геометрически.

5.261. при , f (0)=0. Будет ли функция f (x) при х =0 непрерывной? Дифференцируемой?

5.262. Доказать, что функция дифференцируема в точке х =0.

5.263. Доказать, что функция не имеет производной в точке х =0.

5.264. Показать, что функция не имеет производной в точке х =0.

5.265. Показать, что функция имеет производную при всех х, но ее производная разрывна при х =0.

Производные и дифференциалы высших порядков

Найдите производные 2^го порядка от следующих функций:

5.266. y = x 8+7 x 6–5 x +4.	5.267. y = .
5.268. y =sin2 x.	5.269. y = .
5.270. y = .	5.271. f (x) = (1+ x 2)arctg x.
5.272. y =(arcsin x)2.	5.273. y = .
5.274. y = .	5.275. y =
5.276. y = .
5.277. y = .	5.278. y = .
5.279. y = .	5.280. y = .
5.281. y = .	5.282. y = .
5.283. y = arcsin(a sin x).	5.284. y = xx.

Найти производные 3^го порядка от следующих функций:

5.285. y =	5.286. y =
5.287. y =sh2 x	5.288. y =

5.289. Показать, что функция y =sin(ln x)+cos(ln x) удовлетворяет

дифференциальному уравнению .

5.290. Показать, что функция y = x +sin2 x удовлетворяет дифференциальному уравнению .

5.291. Показать, что функция y =arcsin x удовлетворяет дифференциальному уравнению .

5.292. При прямолинейном движении точки зависимость пути от времени задана уравнением . Найти ускорение в конце 4^ойсекунды.

5.293. Показать, что функция y = с ₁ e ^{2 x} + c ₂ xe ^{2 x} + e^x удовлетворяет дифференциальному уравнению .

5.294. Показать, что функция y = e ^{– x} cos x удовлетворяет дифференциальному уравнению .

Найдите производные 2^го порядка от функций, заданных неявно:

5.295. .	5.296. y 2=2 px.
5.297. y = xey +1.	5.298. y =tg(x + y).
5.299. ex–y = xy.

5.300. Доказать, что если , то .

Найдите производные 2^го порядка следующих функций, заданных параметрически:

5.301. .	5.302. .
5.303. .	5.304. .
5.305. .

5.306. Показать, что функция y (x), заданная параметрически уравнениями x =sin t, y = при любых постоянных а и b удовлетворяет дифференциальному уравнению (1– x ²) .

5.307. Показать, что функция y (x), заданная параметрически уравнениями y = e^t cos t, x = e^t sint удовлетворяет дифференциальному уравнению (x + y)²=2(xy ¢– y).

Найдите n -ю производную от функций:

5.308. y = e –3 x .	5.309. y =sin ax +cos bx.	5.310. y =sin2 x
5.311. y = xex.	5.312. y =2 x.	5.313. y =
5.314. y = .	5.315. y =ln(ax + b).	5.316. y =
5.317. y = .	5.318. y = .	5.319. y =sin4 x +cos4 x
5.320. y = .

5.321. Найдите , если .

5.322. Вычислите d ² y, если y =cos5 x.

5.323. y= , найдите d ² y.

5.324. y =arccos x, найдите d ² y.

5.325. y =sin x ×ln x, найдите d ² y.

5.326. найдите d ⁴ y.

5.327. z = x ²× e ^{– x}, найти d ³ z.

5.328. u =3sin(2 x +5), найдите d ⁿu.

Теоремы о дифференцируемых функциях. Формула Тейлора

5.329. Можно ли на отрезке [–1;1] применить к функции f (x)= a) теорему Ролля, б) теорему Лагранжа о конечных приращениях?

5.330. Применима ли теореме Ролля к функции f (x)= на отрезке [0;1]? В каких точках f ¢(x)=0?

5.331. Показать, что функция f (x)= x – x ³ на отрезках –1£ x £0 и 0£ x £1 удовлетворяет условиям теоремы Ролля. Найти соответствующие значения x.

5.332. Функция f (x)= на концах отрезка [0;4] принимает равные значения f (0)= f (4)= . Справедлива ли для этой функции теорема Ролля на отрезке [0;4].

5.333. Справедлива ли для функции теорема Ролля на [–1;1]?

5.334. Пусть f (x)= x (x +1)(x +2)(x +3). Показать, что уравнение f ¢(x)=0 имеет три действительных корня.

5.335. Показать, что уравнение х ³+3 х –6=0 имеет только один действительный корень.

5.336. Не находя производную функции f (x)=(x –1)(x –2)(x –3)(x –4), выяснить, сколько действительных корней имеет уравнение f ¢(x)=0 и указать интервалы, в которых они лежат.

5.337. Написать формулу Лагранжа для функции y =sin3 x на отрезке [ x ₁; x ₂].

5.338. Написать формулу Лагранжа для функции y = x (1–ln x) на отрезке [ a; b ].

5.339. Написать формулу Лагранжа для функции y =arcsin2 x на отрезке [ x ₀; x ₀+D x ].

5.340. Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа для функции f (x)= x – x ³ на отрезке [–2;1] и найти соответствующее промежуточное значение x.

5.341. Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа и найти соответствующую промежуточную точку x для функции f (x)= на [–1;1].

5.342. Для отрезка параболы y = x ², заключенного между точками А (1;1) и В (3;9), найти точку, касательная в которой параллельна хорде AВ.

5.343. Пользуясь теоремой Лагранжа доказать формулу sin(x + h)– –sin x = h cosx, где x <x< x + h.

5.344. Доказать с помощью формулы Лагранжа неравенства

при условии, что 0< b £ a.

5.345. Доказать с помощью формулы Лагранжа неравенства

при условии, что .

5.346. Используя формулу Лагранжа оценить значение ln(1+ ).

5.347. Используя формулу Лагранжа оценить значение arctg1,5.

5.348. a) Для функций f (x)= x ²+2 и F (x)= x ³–1 проверить выполнение условий теоремы Коши на отрезке [1;2] и найти x; б) то же для f (x)=sin x и F (x)=cos x на отрезке

5.349. Применима ли теорема Коши к функциям f (x)=cos x и F (x)= x ³ на отрезке

5.350. Доказать, что на отрезке (х ³0) приращение функции y ₁=ln(1+ x ²) меньше приращения функции y ₂=arctg x, а на отрезке наоборот. Пользуясь последним соотношением, показать, что на отрезке arctg x –ln(1+ x ²)³ –ln2.

5.351. Разложить многочлен P (x)=2 x ⁴–5 x ³–3 x ²+8 x +4 по степеням х –2.

5.352. Написать формулу Тейлора n^го порядка для функции y = при x ₀= –1.

5.353. Написать формулу Маклорена n ^го порядка для функции y = xе^х.

5.354. Написать формулу Тейлора n^го порядка для функции y = при x ₀=4.

5.355. Оценить ошибку, которую мы допускали, вычисляя значение ln 1,5 по приближенной формуле ln(1+ x)» x – т.е. используя четыре первых члена разложения функции f (x)=ln(1+ x) в ряд Маклорена.

5.356. Используя разложение f (x)=sin x в ряд Маклорена, оценить абсолютную погрешность приближенной формулы sin x» x – на промежутке .

5.357. Используя разложение функции f (x)=ln(1+ x) в ряд Маклорена, оценить погрешность приближенной формулы ln(1+ x)» x – на отрезке .

5.358. Пользуясь приближенной формулой e^x»1+ x + , найдите и оцените погрешность.

5.359. Вычислить число е с абсолютной погрешностью, не превосходящей 0,001.

Найдите пределы используя правило Лопиталя.

5.360. .	5.361. .
5.362. .	5.363. .
5.364. .	5.365. .
5.366. .	5.367. .
5.368. .	5.3691. .
5.370. .	5.371. .
5.372. .	5.373. .
5.374. .	5.375. .
5.376. .	5.377. .
5.378. .	5.379. .
5.380. .	5.381. .
5.382. .	5.383. .
5.384. .	5.385. .
5.386. .	5.387. .
5.388. .