Формула Эйлера для критической силы

Вопрос об устойчивости сжатых стержней впервые был поставлен и решен Леонардом Эйлером в 1759 г. Эйлером выполнен вывод формулы для вычисления величины критической силы для стержня шарнирно-закрепленного по обоим концам. Формула имеет вид:

, (9.1)

где -модуль нормальной упругости материала стержня.

- минимальный момент инерции поперечного сечения стержня. (Из двух осевых моментов инерции относительно главных центральных осей выбирается наименьший, потому что потеря устойчивости происходит в плоскости наименьшей жесткости.).

- длина стержня.

μ - коэффициент приведения длины стержня, который зависит от условий закрепления концов стержня.

Эйлером было доказано, что при потере устойчивости изогнутая ось стержня является синусоидальной кривой. Коэффициент μ показывает на какой части длины стержня укладывается полуволна синусоиды (рис. 9.1).

Формула Эйлера получена на основании приближенного дифференциального уравнения изогнутой оси, которое справедливо в пределах действия закона Гука. Следовательно, критическое напряжение () не должно превышать предела пропорциональности материала стержня (σ_пц), т.е.

σ_х ≤ σ_пц.

Рис. 9.1